Раскройте скобки и упростите (7x² + 7x – 5)(5x² – 4x + 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Планируем порядок вычислений перед перемножением. При перемножении двух трёхчленов получается $3\times3=9$ слагаемых. Если раскрывать скобки по одному члену первого трёхчлена (а не по методу FOIL, который подходит только для двучленов), то все девять произведений будут учтены.

2. 2

   Раскрываем скобки по первому члену $7x^{2}$.

   $7x^{2}\left(5x^{2}-4x+2\right)=35x^{4}-28x^{3}+14x^{2}$

3. 3

   Раскрываем скобки по среднему члену $7x$.

   $7x\left(5x^{2}-4x+2\right)=35x^{3}-28x^{2}+14x$

4. 4

   Раскрываем скобки по свободному члену $-5$, не забывая про знак.

   $-5\left(5x^{2}-4x+2\right)=-25x^{2}+20x-10$

5. 5

   Приводим подобные слагаемые. Группируем все девять полученных членов по степеням:

   $x^{4}:\ 35x^{4}$
   $x^{3}:\ -28x^{3}+35x^{3}=7x^{3}$
   $x^{2}:\ 14x^{2}-28x^{2}-25x^{2}=-39x^{2}$
   $x^{1}:\ 14x+20x=34x$
   $x^{0}:\ -10$

6. 6

   Проверяем раскрытие скобок подстановкой чисел. Если подставить значения $x$ от $-6$ до $6$ и вычислить оба выражения (исходное и раскрытое), то во всех $13$ случаях получаются одинаковые значения — этого более чем достаточно для проверки многочлена четвёртой степени. (Быстрая проверка при $x=1$: $(7+7-5)(5-4+2)=9\cdot3=27$, а $35+7-39+34-10=27$.)