Решите 3ˣ = x⁹ в вещественных числах.

Step-by-step solution

1. 1

   Сужаем область поиска по левой части. Величина $3^{x}>0$ при любом вещественном $x$, значит, и $x^{9}$ обязано быть положительным. Показатель $9$ нечётный, поэтому из $x^{9}>0$ следует

   $x>0$

   так что рассматривать нужно только положительные $x$ — а тогда и логарифмирование законно.

2. 2

   Логарифмируем, чтобы превратить обе части в произведения. При $x>0$:

   $x\ln3=9\ln x\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln3}{9}\approx0.122068$

   Задача превратилась в такую: в каких точках кривая $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ пересекает фиксированный горизонтальный уровень?

3. 3

   Находим точный корень. Попробуем привести обе части к одному основанию. Так как $27=3^{3}$,

   $27^{9}=\left(3^{3}\right)^{9}=3^{27}\ \checkmark$

   значит, $x=27$ — точное решение, проверенное в целочисленной арифметике ✓. (Для сравнения: $x=9$ не подходит, ведь $3^{9}=19683$, а $9^{9}=387\,420\,489$; $x=3$ тоже не подходит.)

4. 4

   Считаем число корней по виду функции $g$. Дифференцируя, получаем $g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$: производная положительна при $x<e$ и отрицательна при $x>e$. Значит, $g$ возрастает до единственного максимума $g(e)=1/e\approx0.3679$, а затем убывает к $0$. Целевой уровень $0.122068$ лежит ниже этого максимума и выше нуля, поэтому горизонтальная прямая пересекает кривую ровно дважды — по одному разу с каждой стороны от $x=e$. Известный корень $27$ лежит справа, значит, второй корень обязан лежать в $(1,e)$.

5. 5

   Находим второй корень численно. Метод половинного деления для $g(x)=\ln3/9$ на промежутке $(1,e)$ сходится к

   $x\approx1.1508248$

   Проверка: $3^{1.1508248}=3.5406498$ и $1.1508248^{9}=3.5406493$ ✓ — совпадение с точностью до $10^{-6}$. Итак, уравнение имеет два вещественных решения, и ответ «только $x=27$» теряет половину истины:

   $x=27\qquad\text{и}\qquad x\approx1.15082$