Вычислите определитель матрицы 4×4 со строками (19,5,7,8), (18,4,4,4), (9,1,2,1) и (9,2,3,4).

Step-by-step solution

1. 1

   Возьмёмся за первый столбец с помощью строки 3. Строка $3$ начинается с $9$, а остальные элементы первого столбца равны $19$, $18$ и $9$. Вычитание кратных строки $3$ (операция, сохраняющая определитель) даёт

   $R_1\leftarrow R_1-2R_3,\quad R_2\leftarrow R_2-2R_3,\quad R_4\leftarrow R_4-R_3$

   $\begin{vmatrix}1&3&3&6\\0&2&0&2\\9&1&2&1\\0&1&1&3\end{vmatrix}$

   Заметьте: $19-18=1$, поэтому первый столбец обнулён не полностью — нужен ещё один шаг.

2. 2

   Доведём обнуление столбца с помощью новой ведущей единицы.

   $R_3\leftarrow R_3-9R_1\quad\Longrightarrow\quad (0,\ 1-27,\ 2-27,\ 1-54)=(0,-26,-25,-53)$

   $\begin{vmatrix}1&3&3&6\\0&2&0&2\\0&-26&-25&-53\\0&1&1&3\end{vmatrix}$

3. 3

   Разложим по первому столбцу. Остаётся только ведущая единица со знаком алгебраического дополнения плюс:

   $\det=1\cdot\begin{vmatrix}2&0&2\\-26&-25&-53\\1&1&3\end{vmatrix}$

4. 4

   Упростим и вычислим определитель 3×3. Вынесем $2$ из первой строки:

   $2\begin{vmatrix}1&0&1\\-26&-25&-53\\1&1&3\end{vmatrix}=2\Big[1(-75+53)-0+1(-26+25)\Big]=2\big[-22-1\big]=2(-23)=-46$

   $\boxed{-46}$

5. 5

   Сопоставим порядок величины с родственной задачей. Очень похожая матрица со строками $(18,5,7,8),(18,3,4,4),(9,1,1,1),(9,2,3,4)$ имеет определитель $9$; изменение четырёх элементов увело результат в $-46$, попутно поменяв знак. Определитель — знакопеременная полилинейная функция, поэтому никакой плавной связи между двумя значениями ожидать не стоит: каждое приходится вычислять независимо.