Выразите y из уравнения x² − 4y + 1 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала заметим, что $x^{2}-4y+1$ сам по себе — выражение, а не уравнение. Без знака равенства решать нечего и упрощать нечего: три слагаемых $x^{2}$, $-4y$ и $1$ не подобны, поэтому свести их в одно нельзя. Именно приравнивание к $0$ превращает запись в соотношение, которое можно решать, а стандартная постановка — выразить $y$.

2. 2

   Выделяем слагаемое с $y$, перенося всё остальное вправо. Вычитаем $x^{2}$ и $1$ из обеих частей:

   $-4y=-x^{2}-1$

   Пока оставляем $-4y$ целиком, не вынося минус отдельно, — так меньше шансов ошибиться со знаком на следующем шаге.

3. 3

   Делим обе части на $-4$. Деление на отрицательное число меняет знак каждого слагаемого справа:

   $y=\frac{-x^{2}-1}{-4}=\frac{x^{2}+1}{4}$

   То же самое можно записать как $y=\tfrac14x^{2}+\tfrac14$. Если поменять знак только у одного из двух слагаемых, ответ окажется неверным — веский довод делить дробь целиком.

4. 4

   Проверяем подстановкой. При $y=\frac{x^{2}+1}{4}$ левая часть равна

   $x^{2}-4\cdot\frac{x^{2}+1}{4}+1=x^{2}-(x^{2}+1)+1=0\ \checkmark$

   и это выполняется при любом $x$, как и должно быть. Численно при $x=-3$, $0$ и $2.5$ невязка равна $0$ с машинной точностью ✓.

5. 5

   Смотрим на геометрию. $y=\tfrac14x^{2}+\tfrac14$ — парабола ветвями вверх с вершиной $\left(0,\tfrac14\right)$, растянутая по горизонтали в $2$ раза относительно $y=x^{2}$. Так как $y$ входит только в первой степени, исходное уравнение задаёт $y$ как настоящую функцию от $x$; если же выражать $x$, получится $x=\pm\sqrt{4y-1}$, а это уже не функция.