Разложите 4m² - 4m - 5 или докажите, что целое разложение невозможно.

Step-by-step solution

1. 1

   Переберём целые множители и убедимся, что они не подходят. Для $4m^2=(2m)(2m)$ и свободного члена $-5$ возможны только варианты $(2m+1)(2m-5)$ и $(2m-1)(2m+5)$. Раскроем скобки:

   $(2m+1)(2m-5)=4m^2-8m-5,\qquad(2m-1)(2m+5)=4m^2+8m-5$

   В обоих случаях коэффициент при $m$ равен $\pm 8$, а не $-4$, значит, целого разложения не существует.

2. 2

   Проверим через дискриминант. Пусть $a=4$, $b=-4$, $c=-5$:

   $\Delta=16+80=96$

   Число $96$ не является полным квадратом ($9^2=81$, $10^2=100$), значит, корни иррациональны и целое разложение изначально невозможно.

3. 3

   Найдём корни. $\sqrt{96}=4\sqrt6$, тогда

   $m=\frac{4\pm 4\sqrt6}{8}=\frac{1\pm\sqrt6}{2}$

4. 4

   Запишем разложение по найденным корням. Для корней $r_1, r_2$ квадратный трёхчлен равен $a(m-r_1)(m-r_2)$; старший коэффициент $4$ обязательно выносится:

   $4m^2-4m-5=4\left(m-\frac{1+\sqrt6}{2}\right)\left(m-\frac{1-\sqrt6}{2}\right)$

5. 5

   Проверим раскрытием скобок. Произведение корней равно $\tfrac{1-6}{4}=-\tfrac54=\tfrac{c}{a}$, сумма — $1=-\tfrac{b}{a}$ $\checkmark$. Приближённо корни $\approx 1{,}7247$ и $\approx -0{,}7247$; подставляя первый, получаем $4(2{,}9746)-6{,}899-5\approx 0$ $\checkmark$.