Решите уравнение x² − 6x − 5 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выписываем коэффициенты и пробуем разложить на множители. Здесь $a=1$, $b=-6$, $c=-5$. Для разложения в целых числах понадобились бы два числа с произведением $-5$ и суммой $-6$; целые пары для $-5$ — это $(1,-5)$ и $(5,-1)$, их суммы равны $-4$ и $4$ — ни одна не даёт $-6$. Значит корни не целые и без формулы не обойтись.

2. 2

   Считаем дискриминант.

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4(1)(-5)=36+20=56$

   Слагаемое $-4ac$ превращается в $+20$, потому что $c$ отрицательно — ошибка со знаком здесь самая частая причина неверного ответа. Так как $\Delta=56>0$, но полным квадратом не является, корней будет два и оба иррациональные.

3. 3

   Подставляем в формулу корней.

   $x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{56}}{2(1)}=\frac{6\pm\sqrt{56}}{2}$

4. 4

   Упрощаем корень и сокращаем. Выделим наибольший квадратный множитель: $56=4\cdot14$, значит $\sqrt{56}=2\sqrt{14}$. Теперь общий множитель $2$ хорошо виден:

   $x=\frac{6\pm2\sqrt{14}}{2}=\frac{2\left(3\pm\sqrt{14}\right)}{2}=3\pm\sqrt{14}$

   Двойку надо сократить с обоими слагаемыми числителя; сократив её только с $6$, мы получили бы неверное $3\pm2\sqrt{14}$.

5. 5

   Проверяем по теореме Виета и численно. Сумма корней должна равняться $-b/a=6$: $\left(3+\sqrt{14}\right)+\left(3-\sqrt{14}\right)=6$ ✓. Произведение должно равняться $c/a=-5$: $3^{2}-\left(\sqrt{14}\right)^{2}=9-14=-5$ ✓. Численно $x\approx6.7417$ и $x\approx-0.7417$, и невязка в обоих случаях меньше $10^{-11}$ ✓.