Решить систему 5y + 2 + 2zx = 0, 5x + 5 + 2zy = 0, x² + y² = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Распознаём структуру задачи Лагранжа. Данная система — это именно условия стационарности для экстремума функции $f(x,y)=5xy+2x+5y$ на единичной окружности: $\nabla f+z\nabla g=0$, где $g=x^{2}+y^{2}-1$, а $z$ — множитель Лагранжа. Это позволяет ожидать четыре решения (два экстремума и две седловые точки), а также указывает, что каждое решение обязательно должно лежать на окружности.

2. 2

   Параметризуем ограничение. Подставляя $x=\cos t$, $y=\sin t$, автоматически выполняется третье уравнение, а первые два принимают вид:

   $5\sin t+2+2z\cos t=0,\qquad 5\cos t+5+2z\sin t=0$

3. 3

   Исключаем множитель $z$. Умножим первое уравнение на $\sin t$, второе — на $\cos t$ и вычтем; слагаемые $2z\sin t\cos t$ взаимно уничтожаются:

   $5\sin^{2}t+2\sin t-5\cos^{2}t-5\cos t=0$

   Получено одно уравнение относительно $t$, имеющее ровно четыре корня на промежутке $[0,2\pi)$ — отсюда и четыре решения всей системы.

4. 4

   Находим два рациональных решения. Два корня дают знакомые точки. При $(x,y)=\left(\tfrac35,\tfrac45\right)$ первое уравнение даёт $4+2+2z\cdot\tfrac35=0$, откуда $z=-5$; второе — $3+5+2(-5)\tfrac45=8-8=0$ ✓. При $(x,y)=(-1,0)$: первое даёт $0+2+2z(-1)=0$, значит $z=1$, второе — $-5+5+0=0$ ✓.

5. 5

   Оставшиеся два решения содержат $\sqrt{11}$. Остальные два корня удовлетворяют $20x^{2}+12x-7=0$ и $20y^{2}+24y+5=0$, что даёт:

   $\left(x,y,z\right)=\left(\frac{-3+2\sqrt{11}}{10},\ \frac{-6-\sqrt{11}}{10},\ \frac{4+\sqrt{11}}{2}\right),\quad\left(\frac{-3-2\sqrt{11}}{10},\ \frac{-6+\sqrt{11}}{10},\ \frac{4-\sqrt{11}}{2}\right)$

6. 6

   Проверяем каждую кандидатуру по всем трём уравнениям — особенно по ограничению. Для пары с $\sqrt{11}$: $x^{2}+y^{2}=\dfrac{9-12\sqrt{11}+44}{100}+\dfrac{36+12\sqrt{11}+11}{100}=\dfrac{100}{100}=1$ ✓, а подстановка в первые два уравнения с учётом $\left(\sqrt{11}\right)^{2}=11$ даёт в точности $0$ в каждом. Эта проверка обязательна: любое формальное решение, не удовлетворяющее $x^{2}+y^{2}=1$, не является ответом, даже если выглядит аккуратно.