Решите систему x² + y² + xy = 7 и x + y + xy = 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Вводим элементарные симметрические величины. Оба уравнения симметричны относительно $x$ и $y$, поэтому положим

   $s=x+y,\qquad p=xy$

   Пользуясь тождеством $x^{2}+y^{2}=s^{2}-2p$, первое уравнение превращаем в

   $s^{2}-2p+p=s^{2}-p=7$

   а второе — попросту в $s+p=5$.

2. 2

   Решаем маленькую систему относительно s и p. Из второго уравнения $p=5-s$; подставим в первое:

   $s^{2}-(5-s)=7\quad\Longrightarrow\quad s^{2}+s-12=0\quad\Longrightarrow\quad (s+4)(s-3)=0$

   отсюда $s=3$ или $s=-4$.

3. 3

   Проверяем ветвь s = 3. Тогда $p=5-3=2$, а $x$ и $y$ — корни уравнения

   $t^{2}-st+p=t^{2}-3t+2=0\quad\Longrightarrow\quad (t-1)(t-2)=0$

   откуда $\{x,y\}=\{1,2\}$.

4. 4

   Проверяем ветвь s = −4. Тогда $p=5-(-4)=9$, и $x$, $y$ были бы корнями уравнения

   $t^{2}+4t+9=0$

   дискриминант которого равен $16-36=-20<0$. Эта ветвь не даёт вещественных решений и должна быть отброшена: проверка условия $s^{2}\ge 4p$ — стандартный способ выяснить, реализуема ли симметричная пара в вещественных числах.

5. 5

   Записываем решения.

   $\boxed{(x,y)=(1,2)\ \text{или}\ (2,1)}$

6. 6

   Проверяем. Для $(1,2)$: $1+4+2=7$ ✓ и $1+2+2=5$ ✓. Пара $(2,1)$ подходит точно так же, поскольку система симметрична, — этим же объясняется, почему решения появляются парами с переставленными координатами, а не поодиночке.