Решите квадратное уравнение 40x² + 98x − 33 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Первым делом вычисляем дискриминант. При $a=40$, $b=98$, $c=-33$

   $\Delta=b^2-4ac=98^2-4(40)(-33)=9604+5280=14884$

   Старший коэффициент $40$ делает подбор множителей мучительным, поэтому стоит потратить одну строку на $\Delta$ и выяснить, существуют ли вообще удобные множители.

2. 2

   Узнаём в 14884 полный квадрат. Вынесем очевидный множитель $4$:

   $14884=4\cdot 3721,\qquad \sqrt{14884}=2\sqrt{3721}=2\cdot 61=122$

   потому что $61^2=3721$. Дискриминант-квадрат гарантирует два рациональных корня, а это, в свою очередь, гарантирует аккуратное разложение на множители над целыми числами.

3. 3

   Подставляем в формулу корней.

   $x=\frac{-98\pm 122}{2\cdot 40}=\frac{-98\pm 122}{80}$

   Обе ветви теперь сводятся к простым дробям, а не к десятичным приближениям.

4. 4

   Сокращаем каждый корень.

   $x=\frac{-98+122}{80}=\frac{24}{80}=\frac{3}{10},\qquad x=\frac{-98-122}{80}=\frac{-220}{80}=-\frac{11}{4}$

   Сокращать надо всегда: и $24/80$, и $-220/80$ скрывают общий множитель.

5. 5

   Выписываем разложение и проверяем его. Корням $3/10$ и $-11/4$ отвечают множители $(10x-3)$ и $(4x+11)$, а их старшие коэффициенты в произведении дают $10\cdot 4=40$:

   $(10x-3)(4x+11)=40x^2+110x-12x-33=40x^2+98x-33$

   Средний член восстанавливается в $98x$, значит подтверждены и корни, и разложение.