Выполните сложение и упростите: (x + 5)/(2x − 2) + 3x/(x² + x − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Разложите оба знаменателя на множители, прежде чем выбирать общий. Простое перемножение знаменателей тоже сработает, но даст без нужды громоздкое выражение, которое потом придётся сокращать. Разложение сразу показывает общий множитель:

   $2x-2=2(x-1),\qquad x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$

2. 2

   Составьте наименьший общий знаменатель. Возьмите каждый различный множитель в наибольшей степени, встречающейся в знаменателях: константу $2$, общий множитель $(x-1)$ и множитель $(x+2)$:

   $\text{НОЗ}=2(x-1)(x+2)$

3. 3

   Приведите каждую дробь к НОЗ. Первой не хватает множителя $(x+2)$, второй — множителя $2$:

   $\frac{(x+5)(x+2)}{2(x-1)(x+2)}+\frac{2\cdot 3x}{2(x-1)(x+2)}$

4. 4

   Сложите числители и приведите подобные.

   $(x+5)(x+2)=x^{2}+7x+10$

   $x^{2}+7x+10+6x=x^{2}+13x+10$

   поэтому сумма равна

   $\frac{x^{2}+13x+10}{2(x-1)(x+2)}$

5. 5

   Проверьте, сокращается ли результат. Для сокращения нужно, чтобы $x-1$ или $x+2$ делили $x^2+13x+10$. При $x=1$ числитель равен $24\neq 0$; при $x=-2$ он равен $4-26+10=-12\neq 0$. Ни то, ни другое множителем не является, значит дробь уже несократима.

   $\boxed{\dfrac{x^{2}+13x+10}{2(x-1)(x+2)}}\qquad (x\neq 1,\ x\neq -2)$

6. 6

   Проверьте на контрольном значении. При $x=3$: исходное выражение равно $\tfrac{8}{4}+\tfrac{9}{10}=2+0.9=2.9$, а ответ даёт $\tfrac{9+39+10}{2(2)(5)}=\tfrac{58}{20}=2.9$. Совпадает.