Решите неравенство −7 > 3x(x − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем правую часть.

   $3x(x-2)=3x^2-6x\quad\Longrightarrow\quad -7>3x^2-6x$

2. 2

   Приведём к стандартному виду. Переносим все члены в одну часть так, чтобы $x^2$ остался с положительным коэффициентом; получаем

   $3x^2-6x+7<0$

   (Запись $-7>E$ эквивалентна $E<-7$, то есть выражение слева, число справа.)

3. 3

   Вычислим дискриминант. Подставим $a=3$, $b=-6$, $c=7$:

   $\Delta=(-6)^2-4(3)(7)=36-84=-48<0$

   Дискриминант отрицателен, действительных корней нет — знаки не меняются.

4. 4

   Определим знак выражения. Так как $a=3>0$, парабола направлена вверх и всё время выше оси. Завершим выделение квадрата:

   $3x^2-6x+7=3(x-1)^2+4\ge 4$

5. 5

   Делаем вывод и проверяем. Выражение всегда не меньше $4$, значит, оно никогда не отрицательно, и неравенство не выполняется ни при каком $x$. Проверим вершину $x=1$: $3(1)(1-2)=-3$, $-7>-3$ — неверно $\checkmark$ — даже в наиболее «выгодной» точке неравенство не выполняется.