Последовательность удовлетворяет соотношению a(n) = 4a(n−1) − 4a(n−2) при всех целых n не меньше 2, причём a(0) = −2025 и a(1) = 2026. Известно, что a(2025) = b · 2^c для некоторых постоянных b и c. Найдите b/c.

Step-by-step solution

1. 1

   Составляем характеристическое уравнение. Для линейного рекуррентного соотношения с постоянными коэффициентами подстановка $a_n=r^n$ превращает соотношение в алгебраическое уравнение. Подставляя в $a_n-4a_{n-1}+4a_{n-2}=0$ и деля на $r^{n-2}$:

   $r^2-4r+4=0\;\Longrightarrow\;(r-2)^2=0\;\Longrightarrow\;r=2\ \text{(двукратный корень)}$

2. 2

   Берём вид общего решения для кратного корня. Двукратный корень даёт лишь одно геометрическое решение $2^n$, поэтому во втором независимом решении появляется множитель $n$:

   $a_n=(A+Bn)\,2^{n}$

   Именно здесь чаще всего ошибаются: запись $A\cdot 2^n+B\cdot 2^n$ сворачивается в одну постоянную и не может подстроиться под два независимых начальных значения.

3. 3

   Подбираем постоянные по двум начальным условиям. При $n=0$:

   $a_0=(A+0)\cdot 2^0=A=-2025$

   При $n=1$:

   $a_1=(A+B)\cdot 2=2026\;\Longrightarrow\;A+B=1013\;\Longrightarrow\;B=1013+2025=3038$

   Итак, $a_n=(3038n-2025)\,2^{n}$. Быстрая проверка: $a_2=(6076-2025)\cdot4=16204$, а непосредственно $4a_1-4a_0=4(2026)-4(-2025)=16204$. Совпадает.

4. 4

   Вычисляем при $n=2025$ и выносим общий множитель.

   $a_{2025}=(3038\cdot 2025-2025)\,2^{2025}=2025\,(3038-1)\,2^{2025}=2025\cdot 3037\cdot 2^{2025}$

   Вынести общий множитель $2025$ до перемножения — именно то, что делает последний шаг чистым: если сначала раскрыть, получится $6{,}149{,}925$, и это число потом придётся снова делить на $2025$.

5. 5

   Считываем $b$ и $c$ и делим. Сравнивая с $a_{2025}=b\cdot 2^{c}$, получаем $b=2025\cdot3037=6{,}149{,}925$ и $c=2025$, поэтому

   $\frac{b}{c}=\frac{2025\cdot 3037}{2025}=3037$

   Множитель $2025$ сокращается нацело — на этом и построена задача: ответ равен $B-1=3037$.