Раскройте и упростите квадрат (1 + x + x² + x³), затем вычтите x³.

Step-by-step solution

1. 1

   Получим квадрат, считая пары индексов, а не перемножая 16 слагаемых. В $(1+x+x^2+x^3)^2$ коэффициент при $x^k$ равен числу упорядоченных пар $(i, j)$, для которых $i+j=k$ и $0\le i, j\le 3$. Посчитаем: при $k=0$ — $1$ пара, при $k=1$ — $2$, при $k=2$ — $3$, при $k=3$ — $4$ (а именно $0{+}3, 1{+}2, 2{+}1, 3{+}0$), при $k=4$ — $3$, при $k=5$ — $2$, при $k=6$ — $1$.

2. 2

   Запишем квадрат:

   $(1+x+x^2+x^3)^2=1+2x+3x^2+4x^3+3x^4+2x^5+x^6$

   Коэффициенты читаются одинаково слева направо и справа налево, что ожидаемо: квадрат палиндромного многочлена всегда тоже палиндромен.

3. 3

   Проверим квадрат при $x=1$. Основание становится $1+1+1+1=4$, значит, квадрат равен $16$; и $1+2+3+4+3+2+1=16$. Любая ошибка в подсчёте пар проявилась бы здесь. (Для справки: $1+x+x^2+x^3=\frac{x^4-1}{x-1}$ при $x\neq 1$, так что квадрат также равен $\frac{(x^4-1)^2}{(x-1)^2}$.)

4. 4

   Вычтем $x^3$. Изменится только один коэффициент — при $x^3$ он уменьшится с $4$ до $3$:

   $1+2x+3x^2+(4-1)x^3+3x^4+2x^5+x^6$

5. 5

   Запишем итог и проверим при $x=2$. В порядке убывания степеней:

   $x^6+2x^5+3x^4+3x^3+3x^2+2x+1$

   При $x=2$ исходное выражение даёт $(1+2+4+8)^2-8=15^2-8=217$, а разложение — $64+64+48+24+12+4+1=217$. Совпадает, значит, разложение верно.