Решите x²((8.9 − x)² − 64) = (71 × 8.9 − 79x)² для всех вещественных x.

Step-by-step solution

1. 1

   Считаем константы и раскрываем обе части. Сначала $71\cdot 8.9=631.9$. Слева:

   $(8.9-x)^2-64=x^2-17.8x+79.21-64=x^2-17.8x+15.21$

   $\text{Левая часть}=x^2(x^2-17.8x+15.21)=x^4-17.8x^3+15.21x^2$

   Справа, с учётом $79^2=6241$, $2(631.9)(79)=99840.2$ и $631.9^2=399297.61$:

   $\text{Правая часть}=6241x^2-99840.2x+399297.61$

2. 2

   Переносим всё в одну часть. Вычтем правую часть из левой:

   $x^4-17.8x^3+(15.21-6241)x^2+99840.2x-399297.61=0$

   $x^4-17.8x^3-6225.79x^2+99840.2x-399297.61=0$

   Обозначим это выражение через $f(x)$. Заметим, что возведение в квадрат здесь уже выполнено за нас — задача и есть возведённая в квадрат форма, — поэтому каждый вещественный корень данного уравнения является настоящим решением и отбрасывать посторонние не придётся.

3. 3

   Ищем перемены знака, чтобы локализовать вещественные корни. Вычислим $f$ в нескольких точках:

   $f(-90)\approx 1.877\times 10^{7},\quad f(-80)\approx 1.842\times 10^{6},\quad f(-70)\approx -7.779\times 10^{6}$

   $f(0)=-399297.61,\quad f(80)\approx -410738,\quad f(81)\approx 427422$

   Одна перемена знака происходит между $-80$ и $-70$, другая — между $80$ и $81$. Поскольку у уравнения четвёртой степени не больше четырёх вещественных корней, а старший коэффициент положителен, в каждом из этих промежутков лежит ровно по одному корню.

4. 4

   Уточняем оба корня. Метод Ньютона внутри каждого промежутка сходится к

   $x_1\approx -78.5149849012,\qquad x_2\approx 80.4985052279$

   Подстановка в $x^2((8.9-x)^2-64)-(631.9-79x)^2$ даёт невязки, по модулю меньшие $10^{-7}$, так что оба корня настоящие.

5. 5

   Доказываем, что других вещественных корней нет, — это и есть главный шаг. На всём отрезке $[0,80]$ многочлен ни разу не становится положительным: его наибольшее значение там около $-3992$ и достигается вблизи $x\approx 7.909$. Раз $f<0$ на всём этом участке, никакой корень внутри спрятаться не может. При $x<-78.51$ и $x>80.50$ многочлен растёт по модулю и остаётся положительным, а на $(-78.51,0)$ он остаётся отрицательным. Значит, вещественных корней ровно два; оставшиеся два образуют комплексно-сопряжённую пару $7.90824\pm 0.79772i$.

6. 6

   Остерегайтесь правдоподобного ответа из четырёх корней. Широко разошлось решение со списком $x\approx-86.19,\ 6.9982,\ 8.9387,\ 88.055$. Подставьте два средних значения напрямую: $f(6.9982)\approx -9205$ и $f(8.9387)\approx -10628$ — оба далеки от нуля, ровно как и предсказывает оценка на $[0,80]$. Всякий раз, когда у уравнения четвёртой степени объявляют четыре вещественных корня, подставьте хотя бы один обратно: знак $f$ на целом промежутке — самое дешёвое опровержение из возможных.