Кто-то купил ручки на 240. Если бы на те же деньги купили на одну ручку больше, каждая стоила бы на 1 меньше. Сколько ручек купили?

Step-by-step solution

1. 1

   Обозначим неизвестное, чтобы удобно выразить цену. Пусть $x$ — это количество купленных ручек. Тогда фактическая средняя цена за одну ручку равна

   $\frac{240}{x}$

   Выбор именно количества, а не цены за неизвестное, позволяет получить уравнение с одной переменной.

2. 2

   Запишем гипотетическую цену. Если бы купили на одну ручку больше за те же деньги, количество стало бы $x + 1$, а цена за одну ручку —

   $\frac{240}{x+1}$

   Больше ручек за ту же сумму — значит, цена за штуку меньше, поэтому это выражение меньше предыдущего.

3. 3

   Переведём условие задачи в уравнение. Гипотетическая цена на $1$ меньше фактической, то есть разность фактической и гипотетической цен равна $1$:

   $\frac{240}{x} - \frac{240}{x+1} = 1$

   Важно правильно записать разность: если поменять местами, получится $-1$ и не будет положительного решения.

4. 4

   Приведём дроби к общему знаменателю и избавимся от знаменателей.

   $240\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) = 240 \cdot \frac{(x+1) - x}{x(x+1)} = \frac{240}{x(x+1)} = 1$

   Получаем:

   $x(x+1) = 240 \ \Longrightarrow \ x^2 + x - 240 = 0$

5. 5

   Решим квадратное уравнение разложением на множители. Нужно найти два числа, произведение которых $-240$, а сумма $1$: это $16$ и $-15$.

   $x^2 + 16x - 15x - 240 = x(x+16) - 15(x+16) = (x+16)(x-15) = 0$

   $x = -16 \quad \text{или} \quad x = 15$

6. 6

   Отбросим невозможный корень и проверим ответ. Количество ручек не может быть отрицательным, поэтому $x = -16$ не подходит, а $x = 15$. Проверим по условию: $240/15 = 16$ за ручку, а если бы купили $16$ ручек, $240/16 = 15$ за ручку — ровно на $1$ меньше. Значит, купили 15 ручек.