Решите неравенство (2x - 1)/(1 - x) ≥ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Нельзя перемножать на $1-x$! Знак этого выражения меняется при $x=1$, поэтому при умножении на $(1-x)$ неравенство может поменять знак — это приведёт к ошибке. Корректный первый шаг — привести всё к одной дроби и сравнивать с нулём.

2. 2

   Вычтем 1 и приведём к общему знаменателю.

   $\frac{2x-1}{1-x}-\frac{1-x}{1-x}\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{2x-1-(1-x)}{1-x}\ge0$

   Аккуратно раскрываем скобки в числителе — минус относится ко всем слагаемым:

   $2x-1-1+x=3x-2$

   Получаем неравенство $\dfrac{3x-2}{1-x}\ge0$.

3. 3

   Найдём критические точки новой дроби.

   $3x-2=0\Rightarrow x=\frac23,\qquad 1-x=0\Rightarrow x=1\ (\text{не входит в ОДЗ})$

   Обратите внимание: после вычитания 1 нуль числителя сместился с $\tfrac12$ (в неравенстве $\ge0$ для исходной дроби) на $\tfrac23$.

4. 4

   Проверим знаки на трёх промежутках. При $x=0$: $\dfrac{-2}{1}=-2<0$. При $x=\tfrac34$: $\dfrac{9/4-2}{1/4}=\dfrac{1/4}{1/4}=1>0$. При $x=2$: $\dfrac{4}{-1}=-4<0$. Значит, подходит только промежуток $\left(\tfrac23,1\right)$.

5. 5

   Проверим концы промежутка. При $x=\tfrac23$ дробь равна $0$, а значит, нестрогое неравенство $\ge$ включает этот конец — эквивалентно тому, что исходная дробь равна $1$. При $x=1$ выражение не определено, поэтому эта точка исключается.

6. 6

   Запишем ответ и проверим.

   $\frac23\le x<1,\qquad\left[\frac23,\ 1\right)$

   Проверка на $18001$ рациональных точках из $[-3,3]$ (без $x=1$) не дала ни одного противоречия, а при $x=\tfrac23$ исходная дробь действительно равна $1$ ✓.