Решите систему: √2·x + √3·y = 3√2 и √3·x − √2·y = 2√3.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем метод сложения, а не подстановки. Если выразить переменную из любого уравнения, радикалы сразу окажутся в знаменателе. Сложение аккуратнее: коэффициенты при $y$, равные $\sqrt3$ и $-\sqrt2$, дают одно и то же произведение $\sqrt6$.

2. 2

   Умножаем первое уравнение на $\sqrt2$. $\sqrt2\left(\sqrt2\,x+\sqrt3\,y\right)=\sqrt2\cdot 3\sqrt2\ \Longrightarrow\ 2x+\sqrt6\,y=6.$

3. 3

   Умножаем второе уравнение на $\sqrt3$. $\sqrt3\left(\sqrt3\,x-\sqrt2\,y\right)=\sqrt3\cdot 2\sqrt3\ \Longrightarrow\ 3x-\sqrt6\,y=6.$

4. 4

   Складываем и исключаем $y$. Слагаемые $\sqrt6\,y$ уничтожаются в точности: $5x=12\ \Longrightarrow\ x=\frac{12}{5}.$

5. 5

   Подставляем обратно и избавляемся от иррациональности в знаменателе. Из первого исходного уравнения $\sqrt3\,y=3\sqrt2-\frac{12\sqrt2}{5}=\frac{3\sqrt2}{5}\ \Longrightarrow\ y=\frac{3\sqrt2}{5\sqrt3}=\frac{3\sqrt6}{15}=\frac{\sqrt6}{5}.$

6. 6

   Проверяем оба уравнения численно. При $x=2.4$ и $y=0.4898979$ левая часть первого равна $4.2426407=3\sqrt2$, а второго — $3.4641016=2\sqrt3$. Оба равенства выполняются.