Решите составное неравенство 10 < 60(1 + x)/7 < 11.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим все три части неравенства одновременно. Составное неравенство, в котором переменная содержится только в средней части, можно решать без разбиения на отдельные неравенства — достаточно выполнять одинаковые преобразования для всех трёх частей.

2. 2

   Умножим обе части на 7. Так как $7 > 0$, знаки неравенств сохраняются:

   $70 < 60(1+x) < 77$

3. 3

   Разделим обе части на 60. Деление на положительное число также не меняет направления неравенств:

   $\frac{70}{60} < 1 + x < \frac{77}{60} \quad\Longrightarrow\quad \frac{7}{6} < 1 + x < \frac{77}{60}$

4. 4

   Вычтем 1 из всех частей. Приведём к общему знаменателю $60$:

   $\frac{7}{6} - 1 = \frac{70 - 60}{60} = \frac{1}{6}, \qquad \frac{77}{60} - 1 = \frac{17}{60}$

   $\frac{1}{6} < x < \frac{17}{60}$

5. 5

   Проверим граничные и внутренние значения. При $x = \tfrac16 \approx 0.166667$: $\tfrac{60(7/6)}{7} = 10$ — ровно, значит, строгое неравенство исключает этот конец. При $x = \tfrac{17}{60} \approx 0.283333$: среднее выражение равно $11$, тоже исключается. При $x = 0.22$: $\tfrac{60(1.22)}{7} = 10.457$, что лежит внутри $(10, 11)$.