Решить неравенство (3 × 10⁹)/4ˣ < 1 и указать наименьшее целое значение x, которое ему удовлетворяет.

Step-by-step solution

1. 1

   Безопасно избавляемся от знаменателя. Показательная функция $4^x$ строго положительна при любом вещественном $x$, поэтому умножение обеих частей на неё не может изменить знак неравенства:

   $3\times10^9<4^x,\qquad\text{т. е.}\qquad 4^x>3\times10^9$

   Именно поэтому здесь не нужен разбор случаев — в отличие от неравенств с многочленом в знаменателе.

2. 2

   Логарифмируем по основанию 4. Так как $4>1$, функция $\log_4$ возрастает и сохраняет направление неравенства:

   $x>\log_4\!\left(3\times10^9\right)$

3. 3

   Переходим к другому основанию. На калькуляторе нет $\log_4$, поэтому воспользуемся формулой

   $\log_4 N=\frac{\log_{10}N}{\log_{10}4}$

   Числитель разложим по свойствам логарифма произведения:

   $\log_{10}\!\left(3\times10^9\right)=\log_{10}3+\log_{10}10^9=0.4771+9=9.4771$

4. 4

   Делим на log 4. При $\log_{10}4=0.6020600$:

   $x>\frac{9.4771213}{0.6020600}=15.7411575\ldots$

   Значит, множество вещественных решений — $x>15.7412$, или, точно, $x>\log_4\!\left(3\times10^9\right)$.

5. 5

   Выписываем наименьшее целое. Наименьшее целое, строго большее $15.7412$, — это

   $x=16$

   Быстрая прикидка подтверждает порядок: $4^{15}=2^{30}\approx1.07\times10^9$, что меньше $3\times10^9$, а $4^{16}=2^{32}\approx4.29\times10^9$ — уже больше.

6. 6

   Проверяем обе стороны от границы. При $x=16$: $\dfrac{3\times10^9}{4^{16}}=\dfrac{3\times10^9}{4.295\times10^9}=0.6985<1$ ✓. При $x=15$: $\dfrac{3\times10^9}{1.074\times10^9}=2.7933>1$ ✗. А точно на границе $x=15.7412$ частное равно $0.999941$ ✓.