У комплексной матрицы характеристический многочлен x³(x − 1)⁴. Сколько существует классов подобия таких матриц?

Step-by-step solution

1. 1

   Используем тот факт, что над $\mathbb{C}$ жорданова форма полностью определяет класс подобия. Две комплексные матрицы подобны тогда и только тогда, когда их жордановы канонические формы совпадают с точностью до перестановки блоков. Значит, задача сводится к подсчёту возможных жордановых форм — никакие другие данные не влияют на класс подобия.

2. 2

   Определим собственные значения и их алгебраические кратности по характеристическому многочлену. Из $x^3(x-1)^4$ видно, что матрица имеет размер $7\times 7$ и

   $\lambda=0 \text{ кратности } 3,\qquad \lambda=1 \text{ кратности } 4$

   Характеристический многочлен фиксирует суммарный размер блоков при каждом собственном значении, но не их разбиение на блоки — и именно это остаётся свободой выбора.

3. 3

   Переходим от «размеров блоков» к разбиениям числа. Жордановы блоки для одного собственного значения имеют размеры — положительные целые числа, сумма которых равна алгебраической кратности, а порядок блоков не важен. Значит, варианты для одного $\lambda$ соответствуют разбиениям его кратности, которые считает функция разбиений $p$.

4. 4

   Запишем разбиения числа 3 и числа 4. Для $\lambda=0$:

   $3,\quad 2+1,\quad 1+1+1\qquad\Longrightarrow\quad p(3)=3$

   Для $\lambda=1$:

   $4,\quad 3+1,\quad 2+2,\quad 2+1+1,\quad 1+1+1+1\qquad\Longrightarrow\quad p(4)=5$

5. 5

   Умножим, так как разбиения для двух собственных значений выбираются независимо. Жорданова структура при $0$ не накладывает ограничений на структуру при $1$, поэтому всего вариантов:

   $p(3)\cdot p(4)=3\cdot 5=15$

   Например, $J_2(0)\oplus J_1(0)\oplus J_3(1)\oplus J_1(1)$ — представитель одного класса; перебирая разбиения независимо, получаем все $15$ вариантов.

6. 6

   Проверим крайние случаи. Разбиения только на единицы для обоих значений дают диагонализируемую матрицу $\operatorname{diag}(0,0,0,1,1,1,1)$ — ровно один класс. Разбиения в один блок дают $J_3(0)\oplus J_4(1)$, где минимальный многочлен $x^3(x-1)^4$ совпадает с характеристическим. Оба случая учтены среди $15$.