Решите уравнение x⁶ + 4x⁵ − 4x⁴ + 4x³ − 7x² − 8x + 10 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала ищем рациональный корень. По теореме о рациональных корнях всякий такой корень делит свободный член $10$: кандидаты — $\pm1,\pm2,\pm5,\pm10$. Быстрее всего проверить $x=1$, потому что это просто сумма коэффициентов:

   $1+4-4+4-7-8+10=0$

   Значит, $x=1$ — корень, а $(x-1)$ — множитель. Для уравнения шестой степени никакой формулы не существует, поэтому отыскать хотя бы один корень — принципиально важный первый шаг.

2. 2

   Делим на $(x-1)$ по схеме Горнера. С коэффициентами $1,4,-4,4,-7,-8,10$ и значением делителя $1$ частное равно

   $x^{5}+5x^{4}+x^{3}+5x^{2}-2x-10$

   а остаток равен $0$, что подтверждает найденный корень.

3. 3

   Раскладываем многочлен пятой степени группировкой. Коэффициенты разбиваются на пары $(1,5),(1,5),(-2,-10)$ — каждая пара в отношении $1:5$, а это верный признак общего множителя $(x+5)$:

   $x^{5}+5x^{4}+x^{3}+5x^{2}-2x-10=x^{4}(x+5)+x^{2}(x+5)-2(x+5)=(x+5)\left(x^{4}+x^{2}-2\right)$

4. 4

   Смотрим на биквадратный множитель как на квадратный относительно $x^{2}$. При $y=x^{2}$

   $y^{2}+y-2=(y+2)(y-1)\ \Longrightarrow\ x^{4}+x^{2}-2=\left(x^{2}+2\right)\left(x^{2}-1\right)=\left(x^{2}+2\right)(x-1)(x+1)$

   Обратите внимание на повторное появление $(x-1)$ — именно отсюда берётся двукратный корень.

5. 5

   Собираем полное разложение.

   $(x-1)^{2}(x+1)(x+5)\left(x^{2}+2\right)=0$

   Обратное раскрытие скобок в точности воспроизводит исходные коэффициенты $1,4,-4,4,-7,-8,10$ ✓ — это и есть проверка всей цепочки преобразований.

6. 6

   Выписываем шесть корней. Приравнивая каждый множитель нулю:

   $x=1\ \text{(двукратный)},\quad x=-1,\quad x=-5,\quad x=\pm i\sqrt2$

   С учётом кратности корней ровно шесть, как и требует основная теорема алгебры для многочлена шестой степени. Четыре из них действительные (единица повторяется дважды), а два образуют пару сопряжённых мнимых.