Пусть Z1 = 4i/(1 - i^{555}), Z2 = (7·i^{88} + 24·i^{33})/(5i). Найдите модуль (сопряжённое Z1)·(Z2)²/Z1.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала упростим выражение с помощью свойств модуля. Модуль произведения равен произведению модулей, а модуль частного — частному модулей: $\left|\frac{\overline{Z_1}\,(Z_2)^2}{Z_1}\right| = \frac{|\overline{Z_1}|\,|Z_2|^2}{|Z_1|}.$ Модуль сопряжённого равен модулю самого числа, то есть $|\overline{Z_1}| = |Z_1|$, поэтому эти множители сокращаются — остаётся только $|Z_2|^2$. Таким образом, $Z_1$ не влияет на ответ — это ловушка задачи.

2. 2

   Упростим степени $i$ с помощью периодичности по модулю 4. Известно, что $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, то есть достаточно рассмотреть показатель по модулю $4$. $88 \equiv 0 \pmod 4$, значит $i^{88}=1$, а $33 \equiv 1 \pmod 4$, значит $i^{33}=i$.

3. 3

   Подставим найденные значения в $Z_2$. $Z_2 = \frac{7(1)+24(i)}{5i} = \frac{7+24i}{5i}.$

4. 4

   Избавимся от мнимой единицы в знаменателе. Домножим числитель и знаменатель на $-i$, используя $i\cdot(-i) = -i^2 = 1$: $Z_2 = \frac{(7+24i)(-i)}{5} = \frac{-7i-24i^2}{5} = \frac{24-7i}{5} = \frac{24}{5}-\frac{7}{5}i.$

5. 5

   Вычислим квадрат модуля. Пусть $a=\tfrac{24}{5}$, $b=-\tfrac{7}{5}$: $|Z_2|^2 = a^2+b^2 = \frac{576}{25}+\frac{49}{25} = \frac{625}{25} = 25.$ Здесь сработала классическая тройка Пифагора $7$-$24$-$25$, поэтому ответ — целое число.

6. 6

   Проверим вычисления напрямую. $555 \equiv 3 \pmod 4$, значит $i^{555} = -i$, тогда $Z_1 = \tfrac{4i}{1+i} = 2+2i$. Если подставить в исходное выражение $\left|\tfrac{(2-2i)(24/5-7i/5)^2}{2+2i}\right|$, получится $25{,}000$, что подтверждает как сокращение, так и арифметику.