Решить уравнение 40x + 30x + 30x + 2x² = 450.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём подобные линейные слагаемые. Все три содержат $x$ в одной и той же степени:

   $40x + 30x + 30x = 100x \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + 100x = 450$

2. 2

   Перенесём всё в одну часть и разделим на общий множитель.

   $2x^2 + 100x - 450 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 50x - 225 = 0$

   Деление на $2$ делает уравнение приведённым, что упрощает и поиск разложения, и работу с формулой.

3. 3

   Проверим, раскладывается ли оно в целых числах. Для разложения нужны два целых числа с произведением $-225$ и суммой $50$. Пары делителей числа $225$ — это $(1,225), (3,75), (5,45), (9,25), (15,15)$, что даёт возможные суммы $\pm224, \pm72, \pm40, \pm16, 0$ — среди них нет $50$. Значит, целочисленного разложения нет и нужна формула корней.

4. 4

   Применим формулу корней квадратного уравнения. При $a = 1$, $b = 50$, $c = -225$:

   $b^2 - 4ac = 2500 + 900 = 3400, \qquad \sqrt{3400} = 10\sqrt{34} \approx 58.309519$

   $x = \frac{-50 \pm 10\sqrt{34}}{2} = -25 \pm 5\sqrt{34}$

5. 5

   Вычислим оба корня.

   $x_1 = -25 + 5\sqrt{34} \approx 4.154759, \qquad x_2 = -25 - 5\sqrt{34} \approx -54.154759$

6. 6

   Проверим и отбросим распространённый неверный ответ. Для $x_1$: $2(4.154759)^2 + 100(4.154759) = 34.52404 + 415.47590 = 449.99994$. Для $x_2$: $5865.47584 - 5415.47590 = 449.99994$ (небольшая недостача — лишь округление $\sqrt{34}$). Теорема Виета тоже сходится: сумма $= -50$, произведение $= -225$. Часто встречающийся ответ $x = 5$ или $x = -55$ неверен: оба дают $2x^2 + 100x = 550$, а не $450$, потому что $55 \times (-5) = -275$, а не $-225$.