Решите систему 3x + 2y + 5z = 7, x + 2y + 5z = 4, -x + 3y + z = 2, 3x + 4y + 5z = 32 методом подстановки.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что система переопределена. Здесь четыре уравнения, а неизвестных только три. Обычно такая система не имеет решений: четвёртое уравнение — это дополнительное ограничение, которое невозможно удовлетворить, если остальные уже определяют значения переменных. Поэтому важно проверить, совместимы ли уравнения между собой.

2. 2

   Выразим $x$ из уравнения (2). Из $x+2y+5z=4$ получаем $x=4-2y-5z$. Удобно брать именно (2), так как коэффициент при $x$ равен $1$, и при подстановке не появятся дроби.

3. 3

   Подставим найденное выражение для $x$ в остальные три уравнения. В (1): $3(4-2y-5z)+2y+5z=7$ сводится к $4y+10z=5$, обозначим это (A). В (3): $-(4-2y-5z)+3y+z=2$ даёт $5y+6z=6$, обозначим это (B). В (4): $3(4-2y-5z)+4y+5z=32$ получаем $2y+10z=-20$, обозначим это (C).

4. 4

   Решим систему из (A) и (C). Вычитая (C) из (A), исключим $z$: $(4y+10z)-(2y+10z)=5-(-20)$, значит, $2y=25$ и $y=\frac{25}{2}$. Затем (C) даёт $25+10z=-20$, откуда $z=-\frac{9}{2}$.

5. 5

   Проверим эти значения в уравнении (B). $5\left(\frac{25}{2}\right)+6\left(-\frac{9}{2}\right)=\frac{125}{2}-27=\frac{71}{2}=35.5$, но по (B) должно быть $6$. Значит, три приведённых уравнения не могут выполняться одновременно.

6. 6

   Делаем вывод и подтверждаем через ранги. Так как при подстановке полученные значения противоречат одному из уравнений, система несовместна. Ранг матрицы коэффициентов равен $3$, а ранг расширенной матрицы — $4$, что по критерию Руше—Капелли означает отсутствие решений. Конкретно: $(1)-(2)$ даёт $x=\frac{3}{2}$, $(4)-(1)$ даёт $y=\frac{25}{2}$, затем (2) даёт $z=-\frac{9}{2}$; эти значения в (3) дают $-\frac{3}{2}+\frac{75}{2}-\frac{9}{2}=\frac{63}{2}=31.5$, а должно быть $2$.