Решить x³ − 245,711x² + 2,764156x + 0,138128 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разделим масштабы. В уравнении $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.138128=0$ по теореме Виета сумма корней равна $245.711$, а произведение — $-0.138128$. Большая сумма при почти нулевом произведении означает, что один корень доминирует, а два других малы. Стандартный приём — отбросить незначительный член в каждом из режимов.

2. 2

   Найдём два малых корня, отбросив $x^{3}$. Если $|x|$ порядка сотых, то $x^{3}$ — величина порядка $10^{-5}$, что ничтожно по сравнению с $245.711x^{2}$. Отбрасывая $x^{3}$, получаем квадратное уравнение $245.711x^{2}-2.764156x-0.138128=0,$ дискриминант которого $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.138128)=143.3988344243,\qquad \sqrt{D}=11.9749252367.$ По формуле корней квадратного уравнения имеем: $x\approx -0.018743095\quad\text{и}\quad x\approx 0.029992718.$

3. 3

   Уточним эти корни одним шагом Ньютона. Отброшенный член $x^{3}$ смещает корни лишь на седьмом знаке после запятой, и применение метода Ньютона $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ к исходному кубическому уравнению даёт $x=-0.018742545\qquad\text{и}\qquad x=0.029994971.$ По сравнению с оценками из квадратного уравнения поправки составляют лишь $5.5\times 10^{-7}$ и $2.3\times 10^{-6}$, что полностью соответствует ожиданиям: отброшенный $x^{3}$ был порядка $10^{-5}$ при $245.711x^{2}$ порядка $10^{-1}$.

4. 4

   Вычислим большой корень через сумму корней, а не по формуле кубического. Так как сумма трёх корней равна $245.711$, $x_{\text{large}}=245.711-\left(-0.018742545+0.029994971\right)=245.699747574.$ Подстановка этого значения в $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.138128$ даёт ноль с точностью до двенадцати значащих цифр.

5. 5

   Проверим оба соотношения Виета. Три корня $-0.018742545$, $0.029994971$ и $245.699747574$ в сумме дают ровно $245.711000000$, а их произведение равно $-0.138128$, что совпадает с $-c$, как и требуется. Именно проверка произведения здесь наиболее показательна: пара малых корней может быть ошибочна, но сумма всегда «подправится» большим корнем — только произведение выявляет ошибку.

6. 6

   Запишем окончательный ответ. $x=-0.018742545,\qquad x=0.029994971,\qquad x=245.699747574.$ Все три корня вещественные, что соответствует графику кубического многочлена: пересечение оси $x$ чуть ниже нуля, чуть выше и далеко вправо около $245.7$.