Решить уравнение |2a + 7| + |2a − 1| = 8.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим точки излома. Каждый модуль меняет формулу там, где выражение под ним обращается в нуль:

   $2a+7=0\Rightarrow a=-\frac72,\qquad 2a-1=0\Rightarrow a=\frac12$

   Эти точки разбивают прямую на промежутки $a<-\tfrac72$, $-\tfrac72\le a<\tfrac12$ и $a\ge\tfrac12$.

2. 2

   Заранее предсказываем вид ответа. Заметим, что $|2a+7|+|2a-1|=2\left(\left|a+\tfrac72\right|+\left|a-\tfrac12\right|\right)$, то есть это удвоенное суммарное расстояние от $a$ до $-\tfrac72$ и до $\tfrac12$. Расстояние между этими двумя точками равно $4$, поэтому наименьшее возможное значение левой части равно $2\times4=8$ — ровно столько же, сколько справа. Значит уравнение требует достичь минимума, а минимум достигается на целом отрезке, а не в отдельных точках.

3. 3

   Случай 1: a < −7/2 (оба выражения под модулем отрицательны). Тогда

   $(-2a-7)+(-2a+1)=-4a-6=8\Rightarrow-4a=14\Rightarrow a=-\frac72$

   Это противоречит строгому условию $a<-\tfrac72$, поэтому случай ничего нового не даёт (значение $-\tfrac72$ подхватит случай 2).

4. 4

   Случай 2: −7/2 ≤ a < 1/2 (знаки разные). Здесь $|2a+7|=2a+7$ и $|2a-1|=-2a+1$, поэтому слагаемые с $a$ взаимно уничтожаются:

   $(2a+7)+(-2a+1)=8$

   Всё сводится к тождеству $8=8$, верному для каждого $a$ из этого промежутка. Значит весь промежуток $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right)$ входит в множество решений.

5. 5

   Случай 3: a ≥ 1/2 (оба выражения под модулем неотрицательны).

   $(2a+7)+(2a-1)=4a+6=8\Rightarrow a=\frac12$

   Это удовлетворяет условию $a\ge\tfrac12$, поэтому $a=\tfrac12$ входит в ответ.

6. 6

   Объединяем случаи и записываем ответ. Случай 2 даёт $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right)$, а случай 3 добавляет концевую точку $\tfrac12$:

   $-\frac72\le a\le\frac12$

   Вне этого замкнутого отрезка левая часть больше $8$, поэтому других решений нет.

7. 7

   Проверяем перебором. Вычислим левую часть в $12001$ точке от $-6$ до $6$: она равна $8$ ровно в точках отрезка $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right]$ и строго больше во всех остальных ✓.