Дано z⁴ + 2x²z² + 2y²z² − 8z = 0. Выразить z как функцию от x и y.

Step-by-step solution

1. 1

   Выносим общий множитель $z$. В каждом слагаемом есть хотя бы одно $z$:

   $z\left(z^{3}+2x^{2}z+2y^{2}z-8\right)=0\ \Longrightarrow\ z\left(z^{3}+2\left(x^{2}+y^{2}\right)z-8\right)=0$

   Значит, $z=0$ — одна из ветвей, годная при любых $(x,y)$, а вся дальнейшая работа относится к кубическому множителю.

2. 2

   Вводим полярный радиус, чтобы увидеть структуру. Переменные входят только через $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, поэтому поверхность симметрична относительно оси $z$, а кубическое уравнение выглядит так:

   $z^{3}+2r^{2}z-8=0$

   Это уже неполное кубическое уравнение вида $z^{3}+pz+q=0$ (без слагаемого с $z^{2}$) при $p=2r^{2}$ и $q=-8$ — как раз тот вид, с которым работает формула Кардано.

3. 3

   Выясняем, сколько здесь вещественных корней. Условие на дискриминант кубического уравнения использует величину

   $\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}=16+\frac{8r^{6}}{27}$

   которая положительна при любом $r$: оба слагаемых неотрицательны, а первое равно $16$. Положительное значение означает ровно один вещественный корень и два комплексных, поэтому ненулевая ветвь однозначна и разбор случаев не нужен.

4. 4

   Применяем формулу Кардано. При $-\dfrac{q}{2}=4$:

   $z=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{8r^{6}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{8r^{6}}{27}}}$

   Под вторым кубическим корнем стоит отрицательное число (квадратный корень больше 4), но для вещественного кубического корня это допустимо.

5. 5

   Записываем ответ в исходных переменных.

   $f(x,y)=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{8\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{8\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}{27}}}$

6. 6

   Проверяем в начале координат. При $x=y=0$ кубическое уравнение принимает вид $z^{3}=8$, откуда $z=2$; формула даёт $\sqrt[3]{4+4}+\sqrt[3]{4-4}=2+0=2$ ✓. При $r\to\infty$ два кубических корня почти взаимно уничтожаются и $z\to 0^{+}$, что согласуется с кубическим уравнением $2r^{2}z\approx 8$, то есть $z\approx 4/r^{2}$ ✓.