Решите неравенство (x - 1)/2 < (7x + 2)/5 и запишите ответ в виде интервала.

Step-by-step solution

1. 1

   Умножим обе части на НОК и проверим его знак. Знаменатели $2$ и $5$ дают НОК $10$. Так как $10>0$, при умножении обеих частей неравенства направление не меняется — знак меняется только при умножении или делении на отрицательное число:

   $10\cdot\frac{x-1}{2}<10\cdot\frac{7x+2}{5}\;\Longrightarrow\;5(x-1)<2(7x+2).$

2. 2

   Раскроем скобки. Аккуратно распределяя множители:

   $5(x-1)=5x-5,\qquad 2(7x+2)=14x+4,$

   получаем неравенство

   $5x-5<14x+4.$

   Если «перемножать по диагонали» без явного шага с НОК, легко ошибиться с числителями и знаменателями; явное умножение на 10 помогает избежать этой ошибки.

3. 3

   Переносим слагаемые с $x$ туда, где коэффициент больше. Вычитая $5x$ из обеих частей, оставляем положительный коэффициент при $x$:

   $-5<9x+4.$

   Если бы вычитали $14x$, получили бы $-9x-5<4$ и пришлось бы делить на $-9$ с изменением знака неравенства. Такой способ увеличивает риск ошибки, поэтому удобнее оставлять положительный коэффициент.

4. 4

   Выразим $x$. Вычтем $4$, затем разделим на положительное число $9$:

   $-9<9x\;\Longrightarrow\;-1<x,\qquad\text{то есть}\qquad x>-1.$

   В интервальной записи множество решений — $(-1,\infty)$; крайняя точка не включается, так как неравенство строгое.

5. 5

   Проверим значения около границы. При $x=-0.9$: слева $=\frac{-1.9}{2}=-0.95$, справа $=\frac{-4.3}{5}=-0.86$, и $-0.95<-0.86$ — верно. При $x=-1.1$: слева $=-1.05$, справа $=\frac{-5.7}{5}=-1.14$, неравенство не выполняется — тоже верно. При $x=-1$ обе части равны $-1$, что подтверждает границу.