Решить неравенство 9x² + 48x − 576 ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем общий множитель. Все коэффициенты делятся на $3$:

   $9x^2+48x-576=3\left(3x^2+16x-192\right)$

   Так как $3>0$, при делении неравенства на него знак не меняется:

   $3x^2+16x-192\ge0$

2. 2

   Пробуем разложить на множители — не удаётся. Для разложения нужны целые числа, произведение которых $3\times(-192)=-576$, а сумма $16$. Перебирая пары делителей $576$ — $(1,576),(2,288),(3,192),(4,144),(6,96),(8,72),(9,64),(12,48),(16,36),(18,32),(24,24)$ — получаем возможные суммы с учётом знаков: $\pm575,\pm286,\pm189,\pm140,\pm90,\pm64,\pm55,\pm36,\pm20,\pm14,0$. Суммы $16$ нет, значит, трёхчлен неразложим над целыми. Часто встречающееся разложение $(x-6)(3x+32)$ даёт $3x^2+14x-192$, а не $3x^2+16x-192$ — средний коэффициент не совпадает, и действительно $9(6)^2+48(6)-576=36\neq0$, то есть $x=6$ не является корнем.

3. 3

   Используем формулу корней квадратного уравнения. Для $3x^2+16x-192=0$:

   $\Delta=16^2-4(3)(-192)=256+2304=2560$

   $x=\frac{-16\pm\sqrt{2560}}{6}$

4. 4

   Упростим радикал. $2560=256\times10$, $\sqrt{256}=16$, значит $\sqrt{2560}=16\sqrt{10}$:

   $x=\frac{-16\pm16\sqrt{10}}{6}=\frac{-8\pm8\sqrt{10}}{3}$

   В числовом виде при $\sqrt{10}=3.16228$:

   $x_1=\frac{-8+25.2982}{3}=5.76607,\qquad x_2=\frac{-8-25.2982}{3}=-11.09941$

5. 5

   Определим интервалы по направлению ветвей параболы. Старший коэффициент $9$ (или $3$ после сокращения) положителен, значит, парабола направлена вверх и выражение $\ge0$ вне корней:

   $x\le\frac{-8-8\sqrt{10}}{3}\qquad\text{или}\qquad x\ge\frac{-8+8\sqrt{10}}{3}$

6. 6

   Включим граничные точки и проверим. Неравенство нестрогое, поэтому сами корни — точки, где выражение обращается в $0$ — входят в ответ. Проверка: оба корня дают $9x^2+48x-576=0$ с точностью до $10^{-9}$ ✓, а перебор $6001$ точек от $-30$ до $30$ полностью подтверждает найденное множество решений ✓. В виде интервалов: $\left(-\infty,\tfrac{-8-8\sqrt{10}}{3}\right]\cup\left[\tfrac{-8+8\sqrt{10}}{3},\infty\right)$.