Решите неравенство |x − 1| / (x^2 − 4) ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Начните с области определения. Знаменатель не должен обращаться в ноль:

   $x^2-4=(x-2)(x+2)\neq 0\ \Longrightarrow\ x\neq 2,\ x\neq -2$

   Эти две точки не могут попасть в ответ, что бы ни показал дальнейший разбор.

2. 2

   Воспользуйтесь тем, что знак числителя фиксирован. Для любого действительного $x$ верно $|x-1|\ge 0$, причём равенство достигается только при $x=1$. Значит, числитель не может сделать дробь отрицательной: знак частного целиком определяется знаменателем — кроме единственной точки, где числитель равен нулю.

3. 3

   Случай A: дробь строго положительна. Нужно, чтобы $|x-1|>0$ (то есть $x\neq 1$) и одновременно $x^2-4>0$. После разложения $(x-2)(x+2)>0$ выполняется, когда оба множителя отрицательны или оба положительны:

   $x<-2\quad\text{или}\quad x>2$

   Так как $x=1$ не лежит ни в одной из этих областей, подходит всё множество $(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$.

4. 4

   Случай B: дробь равна ровно нулю. Частное равно нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет:

   $|x-1|=0\Rightarrow x=1,\qquad 1^2-4=-3\neq 0\ \checkmark$

   Так как неравенство нестрогое ($\ge 0$, а не $>0$), эта единственная точка входит в ответ, хотя и лежит внутри промежутка $(-2,2)$, где дробь в остальном отрицательна.

5. 5

   Исключите остальную часть $(-2,2)$. Там $x^2-4<0$, а $|x-1|>0$, поэтому дробь строго отрицательна: например, при $x=0$ она равна $\tfrac{1}{-4}=-0.25$. Все точки $(-2,2)$, кроме $x=1$, не подходят.

6. 6

   Соберите случаи вместе.

   $(-\infty,-2)\cup\{1\}\cup(2,\infty)$

   Одинокие фигурные скобки вокруг $1$ — не опечатка: изолированная точка в ответе как раз и возникает при знаке «$\ge$», когда неотрицательный числатель обращается в ноль внутри области отрицательности.