Разложите на множители выражение a² - 4x² + 12x - 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Считаем переменные перед группировкой. В выражении четыре слагаемых, но только одно содержит $a$; остальные три — только по $x$. Такая асимметрия — подсказка: сгруппируем три $x$-терма вместе и посмотрим, не получится ли что-то знакомое.

2. 2

   Группируем с выносом минуса. Вынесем $-1$ за скобки у последних трёх слагаемых — все знаки внутри меняются на противоположные:

   $a^2-4x^2+12x-9=a^2-\left(4x^2-12x+9\right)$

   Типичная ошибка — забыть поменять знак у $+12x$ и $-9$.

3. 3

   Замечаем полный квадрат. Для $4x^2-12x+9$ проверим: $(2x)^2=4x^2$, $3^2=9$, and $2\cdot 2x\cdot 3=12x$, что совпадает со средним слагаемым, значит

   $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$

   Теперь выражение имеет вид $a^2-(2x-3)^2$.

4. 4

   Применяем формулу разности квадратов. Пусть $A=a$, $B=2x-3$, тогда по формуле $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ получаем:

   $a^2-(2x-3)^2=\bigl(a-(2x-3)\bigr)\bigl(a+(2x-3)\bigr)$

5. 5

   Убираем внутренние скобки. Раскрываем знаки:

   $(a-2x+3)(a+2x-3)$

   Дальнейшее разложение на множители невозможно в целых числах, разложение завершено.

6. 6

   Проверяем раскрытием скобок. $(a-2x+3)(a+2x-3)=a^2+a(2x-3)-a(2x-3)-(2x-3)^2=a^2-(4x^2-12x+9)=a^2-4x^2+12x-9$. $\checkmark$