Разложить x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Распознаём сумму геометрической прогрессии. Здесь шесть слагаемых — это $x^0$ до $x^5$ с знаменателем $x$, поэтому при $x\neq 1$

   $1+x+x^2+x^3+x^4+x^5=\frac{x^6-1}{x-1}$

   Переход к разности степеней вместо пятой степени позволяет использовать известные разложения.

2. 2

   Разложим $x^6-1$ как разность кубов квадратов. Представим $x^6=(x^3)^2$, тогда

   $x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)$

3. 3

   Разложим каждый куб по формуле суммы и разности кубов.

   $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\qquad x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$

4. 4

   Сократим на $x-1$. Подставляя всё обратно,

   $\frac{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)}{x-1}=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

   Сокращение допустимо как тождество многочленов — исходный многочлен не делится на $x-1$, так как при $x=1$ получается $6$, а не $0$.

5. 5

   Проверим разложение группировкой. Группируя: $x^4(x+1)+x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^4+x^2+1)$, а $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ (добавим и вычтем $x^2$, чтобы получить разность квадратов). Получается тот же ответ другим способом.

6. 6

   Проверим численно и убедимся в неприводимости. При $x=2$ исходный многочлен равен $32+16+8+4+2+1=63$, а $(3)(7)(3)=63$ ✓. Дискриминант каждого квадратного множителя $1-4=-3<0$, значит, они неприводимы над действительными — разложение завершено.