Упростить (x⁵ − x + 20x³ − 8) разделить на (7 + x² − 2x).

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём оба многочлена к стандартному убывающему порядку степеней. В изначальной записи члены расположены вразнобой, а деление столбиком требует строгого порядка по степеням:

   $\text{числитель: } x^5 + 20x^3 - x - 8, \qquad \text{знаменатель: } x^2 - 2x + 7$

   Степень частного будет равна $5 - 2 = 3$.

2. 2

   Вставим нулевые коэффициенты для отсутствующих степеней. В числителе нет членов при $x^4$ и $x^2$, поэтому перепишем так:

   $x^5 + 0x^4 + 20x^3 + 0x^2 - x - 8$

   Без этих нулей столбцы не совпадут, и все последующие вычитания будут неверными.

3. 3

   Раунды 1 и 2. Делим старшие члены, умножаем, вычитаем:

   $\frac{x^5}{x^2} = x^3: \quad x^3(x^2-2x+7) = x^5 - 2x^4 + 7x^3 \ \Rightarrow\ 2x^4 + 13x^3 + 0x^2 - x - 8$

   $\frac{2x^4}{x^2} = 2x^2: \quad 2x^2(x^2-2x+7) = 2x^4 - 4x^3 + 14x^2 \ \Rightarrow\ 17x^3 - 14x^2 - x - 8$

4. 4

   Раунды 3 и 4.

   $\frac{17x^3}{x^2} = 17x: \quad 17x(x^2-2x+7) = 17x^3 - 34x^2 + 119x \ \Rightarrow\ 20x^2 - 120x - 8$

   $\frac{20x^2}{x^2} = 20: \quad 20(x^2-2x+7) = 20x^2 - 40x + 140 \ \Rightarrow\ -80x - 148$

   Остаток $-80x - 148$ имеет степень $1$, что меньше степени делителя $2$, поэтому деление на этом заканчивается.

5. 5

   Запишем результат в виде частного и правильного остатка.

   $\frac{x^5 + 20x^3 - x - 8}{x^2 - 2x + 7} = x^3 + 2x^2 + 17x + 20 - \frac{80x + 148}{x^2 - 2x + 7}$

6. 6

   Проверим умножением. Если раскрыть скобки в $(x^2 - 2x + 7)(x^3 + 2x^2 + 17x + 20) + (-80x - 148)$, получится ровно $x^5 + 20x^3 - x - 8$. Заметим, что дискриминант $x^2 - 2x + 7$ равен $4 - 28 = -24 < 0$, то есть делитель не раскладывается на линейные множители над $\text{R}$, и остаток нельзя упростить через разложение на простейшие дроби с действительными коэффициентами.