Решите x³ − 3x² + 3x − 2 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Ищем в коэффициентах признак бинома Ньютона. Формула

   $(x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1$

   даёт коэффициенты $1,-3,3,-1$ — такие же, как в нашем кубическом многочлене, кроме свободного члена. Именно последовательность $1,3,3,1$ (треугольник Паскаля) указывает на этот шаблон.

2. 2

   Перепишем кубический многочлен по найденному шаблону. Поскольку свободный член $-2$, а не $-1$,

   $x^{3}-3x^{2}+3x-2=\left(x^{3}-3x^{2}+3x-1\right)-1=(x-1)^{3}-1$

3. 3

   Приведём уравнение к виду чистого куба.

   $(x-1)^{3}-1=0\ \Longrightarrow\ (x-1)^{3}=1$

4. 4

   Вычислим действительный корень куба. В отличие от квадратного корня, действительный кубический корень единственен: единственное действительное число, куб которого равен $1$, — это $1$. Значит,

   $x-1=1\ \Longrightarrow\ x=2$

5. 5

   Учитываем остальные два корня. В поле комплексных чисел из $(x-1)^{3}=1$ следуют ещё $x-1=\omega$ и $x-1=\omega^{2}$, где $\omega=-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i$. Это даёт комплексные корни $x=\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}i$. Эквивалентно, разложение по разности кубов: $(x-2)\left(x^{2}-x+1\right)=0$, причём $x^{2}-x+1$ имеет дискриминант $-3<0$.

6. 6

   Проверим действительный корень. $2^{3}-3(2)^{2}+3(2)-2=8-12+6-2=0\ \checkmark$