Найдите корень уравнения 1/(3x + 11) = 1/(9x + 5).

Step-by-step solution

1. 1

   Пользуемся правилом равенства обратных величин, а не механическим перемножением крест-накрест. Если $\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}$, где $a\neq 0$ и $b\neq 0$, то, перейдя к обратным величинам, получаем $a=b$. Это одним шагом превращает дробное уравнение в линейное:

   $3x+11=9x+5$

2. 2

   Выписываем область допустимых значений до решения. Оба знаменателя не должны обращаться в нуль, поэтому $x\neq -\dfrac{11}{3}$ и $x\neq -\dfrac{5}{9}$. Любой корень, попавший в эти точки, посторонний и подлежит отбрасыванию.

3. 3

   Решаем линейное уравнение. Переносим слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую:

   $11-5=9x-3x$

   $6=6x$

   $x=1$

4. 4

   Убеждаемся, что $x=1$ не выпадает из области допустимых значений. Подставляем в каждый знаменатель:

   $3(1)+11=14\neq 0,\qquad 9(1)+5=14\neq 0$

   Оба знаменателя равны $14$, значит корень годится.

5. 5

   Проверяем исходное уравнение подстановкой.

   $\frac{1}{14}=\frac{1}{14}\quad\checkmark$

   Равенство выполняется точно, поэтому $x=1$ — единственный корень.