Решите уравнение 3x² − 48 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем, что слагаемого с $x$ нет, — формула корней не нужна. Уравнение вида $ax^{2}+c=0$ решается выражением $x^{2}$ и извлечением корня; это заметно быстрее подстановки в формулу. Прибавим $48$ к обеим частям:

   $3x^{2}=48$

2. 2

   Делим на старший коэффициент. Разделим обе части на $3$ до извлечения корня; извлечение корня прямо из $3x^{2}$ оставило бы неудобный $\sqrt{3}$:

   $x^{2}=16$

3. 3

   Извлекаем корень с обоими знаками. Если $x^{2}=k$ при $k>0$, то $x=\pm\sqrt{k}$ — два решения, потому что возведение в квадрат стирает знак:

   $x=\pm\sqrt{16}=\pm4$

   Запись только $x=4$ теряет половину ответа. Сама по себе запись $\sqrt{16}$ означает арифметический (неотрицательный) корень $4$, поэтому знак $\pm$ приходится ставить вручную.

4. 4

   Проверяем оба корня в исходном уравнении. При $x=4$: $3(16)-48=48-48=0$ ✓. При $x=-4$: $3(-4)^{2}-48=3(16)-48=0$ ✓. Заметим, что $(-4)^{2}=+16$: квадрат отрицательного числа положителен — именно поэтому подходит и отрицательный корень.

5. 5

   Перепроверяем разложением на множители. $3x^{2}-48=3(x^{2}-16)=3(x-4)(x+4)$, а произведение равно нулю лишь тогда, когда нулю равен один из множителей, откуда $x=4$ или $x=-4$ ✓. Теорема Виета тоже согласуется: сумма корней равна $0=-b/a$ (слагаемого с $x$ нет), а произведение равно $-48/3=-16$ ✓.