Упростите ((a² − 2a + 4)/(a + 2))² − ((a² + 2a + 4)/(a − 2))².

Step-by-step solution

1. 1

   Разглядим в числителях формулы куба. Оба числителя — это неполные квадраты из разложения куба:

   $a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4),\qquad a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)$

   Поэтому $\dfrac{a^2-2a+4}{a+2}=\dfrac{a^3+8}{(a+2)^2}$ и $\dfrac{a^2+2a+4}{a-2}=\dfrac{a^3-8}{(a-2)^2}$. Именно это наблюдение не даёт алгебре разрастись.

2. 2

   Приведём оба квадрата к общему знаменателю $(a^2-4)^2$. Поскольку $(a+2)(a-2)=a^2-4$,

   $\left(\frac{a^2-2a+4}{a+2}\right)^{2}=\frac{(a^2-2a+4)^2(a-2)^2}{(a^2-4)^2},\qquad \left(\frac{a^2+2a+4}{a-2}\right)^{2}=\frac{(a^2+2a+4)^2(a+2)^2}{(a^2-4)^2}$

3. 3

   Вычтем числители и раскроем скобки. Оба произведения — многочлены шестой степени; выполнив умножение и почленно вычтя, получаем

   $(a^2-2a+4)^2(a-2)^2-(a^2+2a+4)^2(a+2)^2=-16a^5-160a^3-256a$

   Все чётные степени уничтожаются — полезный признак того, что две половины действительно зеркальны друг другу при замене $a\mapsto -a$.

4. 4

   Разложим числитель до конца.

   $-16a^5-160a^3-256a=-16a\bigl(a^4+10a^2+16\bigr)=-16a\,(a^2+2)(a^2+8)$

   Ни $a^2+2$, ни $a^2+8$ над действительными числами не раскладываются, так что дальше идти некуда; заметим также, что с $(a^2-4)^2$ ничего не сокращается, поэтому дробь уже несократима при $a\ne\pm 2$.

5. 5

   Проверим численно при двух значениях $a$. При $a=1$ исходное выражение равно $\left(\tfrac{3}{3}\right)^2-\left(\tfrac{7}{-1}\right)^2=1-49=-48$, а замкнутая формула даёт $\dfrac{-16(1)(3)(9)}{9}=-48$. При $a=3$ исходное равно $\left(\tfrac{7}{5}\right)^2-\left(\tfrac{19}{1}\right)^2=1.96-361=-359.04$, а формула — $\dfrac{-16(3)(11)(17)}{25}=-\dfrac{8976}{25}=-359.04$. Оба значения совпадают точно.