Раскройте скобки: (x²y + 5y² − 5 − 2y³ − 2x + 6y − 5y⁴) умножить на 5y².

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, как одночлен влияет на каждое слагаемое. При умножении на $5y^{2}$ каждый коэффициент умножается на $5$, степень $x$ не меняется, а степень $y$ увеличивается ровно на $2$. Если помнить это правило, то семь умножений превращаются в семь простых изменений.

2. 2

   Рассмотрим два слагаемых с $x$.

   $\left(x^{2}y\right)\left(5y^{2}\right)=5x^{2}y^{3},\qquad (-2x)\left(5y^{2}\right)=-10xy^{2}.$

3. 3

   Рассмотрим свободный член. Свободный член — это $y^{0}$, значит, после умножения получится слагаемое с $y^{2}$:

   $(-5)\left(5y^{2}\right)=-25y^{2}.$

   Часто именно это слагаемое пропускают — но свободный член тоже участвует в умножении.

4. 4

   Рассмотрим четыре слагаемых, содержащих только $y$.

   $\left(5y^{2}\right)\left(5y^{2}\right)=25y^{4},\qquad \left(-2y^{3}\right)\left(5y^{2}\right)=-10y^{5},$
   $(6y)\left(5y^{2}\right)=30y^{3},\qquad \left(-5y^{4}\right)\left(5y^{2}\right)=-25y^{6}.$

5. 5

   Запишем все семь слагаемых в естественном порядке.

   $5x^{2}y^{3}-10xy^{2}-25y^{6}-10y^{5}+25y^{4}+30y^{3}-25y^{2}.$

   Наибольшая степень — $6$, она получилась из $-5y^{4}$, то есть умножение на $5y^2$ действительно увеличило степень многочлена на $2$.

6. 6

   Проверим подстановкой. При $x=y=1$ выражение в скобках равно $1+5-5-2-2+6-5=-2$, а $5y^2=5$, значит, произведение должно быть $-10$. Складываем семь полученных слагаемых при $x=y=1$: $5-10-25-10+25+30-25=-10$ — совпадает.