Решите неравенство (2/5)^x < √((4/25)^((3x + 2)/x)).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала выписываем область допустимых значений. Показатель $\frac{3x+2}{x}$ не определён при $x=0$, поэтому условие $x\ne 0$ действует на протяжении всего решения. Всё остальное определено при любом действительном $x$: положительное основание в любой действительной степени положительно.

2. 2

   Приводим обе части к одному основанию. Заметим, что $\frac{4}{25}=\left(\frac{2}{5}\right)^2$, поэтому квадратный корень «съедает» квадрат:

   $\sqrt{\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac{3x+2}{x}}}=\left[\left(\tfrac{2}{5}\right)^{2\cdot\frac{3x+2}{x}}\right]^{1/2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3x+2}{x}}$

   Неравенство превращается в чистое сравнение показателей при одном и том же основании:

   $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}<\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3x+2}{x}}$

3. 3

   Меняем знак неравенства, потому что основание меньше единицы. Функция $t\mapsto\left(\frac25\right)^t$ убывает, поэтому меньшему значению отвечает больший показатель:

   $x>\frac{3x+2}{x}$

   Забыть про этот разворот знака — самая частая ошибка в показательных неравенствах с дробным основанием.

4. 4

   Переносим всё в одну часть и ни в коем случае не умножаем на $x$. Умножение обеих частей на $x$ потребовало бы разбора случаев по знаку $x$; вычитание безопаснее:

   $x-\frac{3x+2}{x}>0\;\Longleftrightarrow\;\frac{x^2-3x-2}{x}>0$

5. 5

   Находим критические точки и строим таблицу знаков. Числитель обращается в нуль при $x^2-3x-2=0$, то есть

   $x=\frac{3\pm\sqrt{9+8}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\approx-0.5616\ \text{и}\ 3.5616$

   Вместе с нулём знаменателя критические точки в порядке возрастания таковы: $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$, $0$, $\frac{3+\sqrt{17}}{2}$. Подстановка одной пробной точки в каждый из четырёх промежутков даёт знаки $-,\;+,\;-,\;+$.

6. 6

   Записываем множество решений и проверяем его. Частное положительно при

   $x\in\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2},\,0\right)\cup\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\,+\infty\right)$

   Проверим $x=-0.4$: левая часть $0.4^{-0.4}\approx1.44$, правая часть $0.4^{(3(-0.4)+2)/(-0.4)}=0.4^{-2}=6.25$ — неравенство выполняется. Проверим $x=1$: неравенство $0.4<0.4^{5}=0.01$ неверно, как и предсказывает таблица знаков.