Решите (x + 25)/(x + 125) − x/(x + 100) = 1/10, указав ограничения на x.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем ограничения на переменную. Ни один из знаменателей не должен обращаться в ноль, поэтому

   $x\ne-125,\qquad x\ne-100.$

   Оба найденных корня потребуется проверить на соответствие этим ограничениям в конце.

2. 2

   Приведём к общему знаменателю и упростим числитель. В качестве общего знаменателя возьмём $(x+125)(x+100)$:

   $(x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500,\qquad x(x+125)=x^{2}+125x,$

   тогда числитель равен

   $\left(x^{2}+125x+2500\right)-\left(x^{2}+125x\right)=2500.$

   Все слагаемые с $x$ сокращаются, остаётся константа в числителе и квадратный трёхчлен в знаменателе:

   $\frac{2500}{(x+125)(x+100)}=\frac{1}{10}.$

   Обратим внимание на знак: при таком порядке вычитания в числителе остаётся $+2500$, а если поменять дроби местами, получится $-2500$ — именно этот знак определяет, существуют ли действительные корни.

3. 3

   Перемножим крест-накрест и составим квадратное уравнение. Получаем $25000=(x+125)(x+100)=x^{2}+225x+12500$:

   $x^{2}+225x-12500=0.$

   Свободный член теперь отрицательный, значит, по теореме Виета корни будут разного знака — один положительный, другой отрицательный.

4. 4

   Решим уравнение и упростим иррациональность. Дискриминант равен

   $\Delta=225^{2}+4(12500)=50625+50000=100625>0,$

   значит, есть два действительных корня. Заметим, что $100625=625\times161$, а $161=7\times23$ — число без квадратных делителей, поэтому $\sqrt{100625}=25\sqrt{161}$. Тогда

   $x=\frac{-225\pm25\sqrt{161}}{2}.$

5. 5

   Приблизим значения и проверим ограничения. При $\sqrt{161}\approx12.6886$:

   $x\approx46.107\qquad\text{или}\qquad x\approx-271.107.$

   Оба значения не равны $-100$ и $-125$, значит, оба корня допустимы. Подставим $x=46.107$: $\frac{71.107}{171.107}-\frac{46.107}{146.107}=0.41557-0.31557=0.10000$ — верно ✓, отрицательный корень также даёт верный результат. Для сравнения: если поменять порядок дробей, то в уравнении $\frac{x}{x+100}-\frac{x+25}{x+125}=\frac1{10}$ дискриминант будет $-99375$, и действительных корней не будет вовсе.