Решите неравенство (2x + 1)(3x - 1)² / (x³ · (√2 − 1)) ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разберёмся с постоянным множителем. $\sqrt2\approx 1{,}4142>1$, значит $\sqrt2-1>0$. Деление на положительную константу не меняет знак неравенства, поэтому этот множитель можно опустить:

   $\frac{(2x+1)(3x-1)^{2}}{x^{3}}\le 0.$

2. 2

   Рассмотрим влияние каждого множителя на знак выражения. Критические точки: $x=-\tfrac12$, $x=0$ и $x=\tfrac13$.

   • $(2x+1)$ меняет знак при $-\tfrac12$;
   • $(3x-1)^{2}$ — степень чётная, поэтому выражение $\ge 0$ на всей числовой прямой и не меняет знак, а обращается в ноль только при $x=\tfrac13$;
   • $x^{3}$ — нечётная степень, поэтому знак меняется при $x=0$;
   • $x=0$ исключается из области определения.
3. 3

   Сведём задачу к исследованию знака более простого отношения. Вне точки $x=\tfrac13$ множитель $(3x-1)^2$ строго положителен, поэтому на остальных промежутках знак неравенства определяется выражением

   $\frac{2x+1}{x}\le 0.$

4. 4

   Строим таблицу знаков на промежутках, разбитых точками −1/2 и 0.

   $x<-\tfrac12:\ \tfrac{(-)}{(-)}=+\quad;\quad -\tfrac12<x<0:\ \tfrac{(+)}{(-)}=-\quad;\quad x>0:\ \tfrac{(+)}{(+)}=+.$

   Таким образом, выражение отрицательно только на $\left(-\tfrac12,0\right)$.

5. 5

   Добавим случаи равенства. Неравенство нестрогое, поэтому включаются все точки, где выражение обращается в ноль и определено: $x=-\tfrac12$ (корень $2x+1=0$) и $x=\tfrac13$ (корень $(3x-1)^2=0$). Точка $x=0$ по-прежнему исключается — знаменатель обращается в ноль.

6. 6

   Записываем ответ.

   $x\in\left[-\tfrac12,\,0\right)\cup\left\{\tfrac13\right\}.$

   Изолированная точка $\tfrac13$ — важный момент: чётная степень множителя не меняет знак, но в нестрогом неравенстве её корень включается как отдельное решение. Проверка: при $x=\tfrac13$ выражение равно нулю, при $x=0{,}4$ — положительно.