Разложите x³ + x² + 2x + 1 на множители или докажите, что он не раскладывается над рациональными.

Step-by-step solution

1. 1

   Сократим список возможных корней. Старший коэффициент равен $1$, свободный член также $1$, поэтому по признаку рационального корня возможные рациональные корни $p/q$ таковы, что $p\mid 1$ и $q\mid 1$. Остаются только два варианта:

   $x=1\quad\text{и}\quad x=-1$

2. 2

   Проверим оба варианта. Пусть $f(x)=x^3+x^2+2x+1$:

   $f(1)=1+1+2+1=5\neq 0$
   $f(-1)=-1+1-2+1=-1\neq 0$

   Ни один из них не является корнем, значит, у $f$ нет линейных множителей с рациональными коэффициентами.

3. 3

   Объясним, почему этого достаточно для кубического многочлена. Любое разложение многочлена третьей степени над полем обязательно содержит линейный множитель (единственные разбиения $3$ — это $1+2$ или $1+1+1$). Так как все линейные рациональные множители исключены, $f$ неприводим над $\mathbb{Q}$.

4. 4

   Покажем, почему группировка также не работает. Естественная группировка даёт

   $x^2(x+1)+1(2x+1)$

   и скобки $(x+1)$ и $(2x+1)$ различны, поэтому общий двучлен вынести нельзя. Группировка работает только тогда, когда скобки совпадают, как, например, в $x^3+x^2-x-1$.

5. 5

   Для полноты определим единственный вещественный корень численно. $f(-0.5)=0.125$, а $f(-0.6)=-0.056$, значит, вещественный корень находится примерно при $x\approx-0.5698$; остальные два корня — сопряжённая пара комплексных. Этот корень иррационален, поэтому не даёт рационального множителя $\checkmark$.