Функция f(x) = |x + 2| - 1 отражается относительно оси Ox и затем сдвигается вниз на 2 единицы. Запишите уравнение новой функции.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим исходный график. $f(x)=|x+2|-1$ — это график модуля, открывающийся вверх, с вершиной в точке $(-2,-1)$, так как $|x+2|=|x-(-2)|$ задаёт $h=-2$, а $-1$ в конце даёт $k=-1$.

2. 2

   Выполним отражение относительно оси $x$ — меняем знак всей функции. Здесь важно: минус должен относиться ко всей функции, включая константу, а не только к модулю:

   $-f(x)=-\left(|x+2|-1\right)=-|x+2|+1$

   Если бы записали $-|x+2|-1$ на этом этапе, это была бы типичная ошибка — ведь $-1$ становится $+1$ при отражении, так как точка $(-2,-1)$ переходит в $(-2,1)$.

3. 3

   Сдвинем график вниз на 2 единицы — вычтем 2.

   $-|x+2|+1-2=-|x+2|-1$

4. 4

   Запишем результат и его свойства.

   $f(x)=-|x+2|-1,\qquad \text{вершина }(-2,-1),\ \text{график открыт вниз}$

   Вершина вернулась в исходные координаты — отражение подняло её с $-1$ до $+1$, а сдвиг опустил обратно на $2$ — но график теперь действительно другой: «галочка» открыта вниз.

5. 5

   Проверим на точках. Исходная: $(0,f(0))=(0,1)$; после отражения $(0,-1)$, после сдвига вниз на $2$ — $(0,-3)$. Подставим в формулу: $-|0+2|-1=-2-1=-3\;\checkmark$. Вершина $(-2,-1)\to(-2,1)\to(-2,-1)$, и формула даёт $-|{-2}+2|-1=-1\;\checkmark$. Максимальное значение $-1$, график не пересекает ось $x$.