Разложите по формуле суммы или разности кубов: 125x³ – 64.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, что оба слагаемых — кубы. $125=5^{3}$, а $x^{3}$ уже является кубом, значит $125x^{3}=(5x)^{3}$; кроме того, $64=4^{3}$. Так как между ними стоит знак минус, можно применять формулу разности кубов.

2. 2

   Запишем формулу разности кубов. $a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),$ где $a=5x$, $b=4$. Обратите внимание: во втором множителе средний знак — плюс, противоположный знаку в первом множителе.

3. 3

   Составим линейный множитель. $a-b=5x-4 .$

4. 4

   Составим квадратный множитель. $a^{2}=(5x)^{2}=25x^{2},\qquad ab=(5x)(4)=20x,\qquad b^{2}=4^{2}=16,$ значит второй множитель — $25x^{2}+20x+16$. Его дискриминант равен $400-1600=-1200<0$, поэтому далее по вещественным числам не раскладывается.

5. 5

   Запишем результат и проверим. $125x^{3}-64=(5x-4)\left(25x^{2}+20x+16\right).$ При раскрытии скобок: $5x\cdot 25x^{2}=125x^{3}$, остальные члены взаимно уничтожаются, остаётся $-4\cdot 16=-64$.