Решите неравенство 2 < |x + 1| ≤ 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Разбиваем двойное неравенство на два отдельных условия. Двойное неравенство с модулем — это по сути пересечение:

   $|x+1|>2\qquad\textbf{и}\qquad |x+1|\le3$

   Они ведут себя противоположно: «больше» раскрывается наружу, «меньше» — внутрь, поэтому решать их надо порознь, а потом пересечь.

2. 2

   Решаем часть со знаком «больше». Запись $|A|>c$ (при $c>0$) означает $A>c$ или $A<-c$:

   $x+1>2\ \text{или}\ x+1<-2\qquad\Longrightarrow\qquad x>1\ \text{или}\ x<-3$

   Это объединение двух лучей — точки, далёкие от $-1$.

3. 3

   Решаем часть со знаком «не больше». Запись $|A|\le c$ означает $-c\le A\le c$:

   $-3\le x+1\le3\qquad\Longrightarrow\qquad -4\le x\le2$

   Это одна полоса — точки, близкие к $-1$.

4. 4

   Пересекаем полученные множества по частям. Накладываем каждый луч на полосу:

   • $x>1$ вместе с $-4\le x\le2$ даёт $1<x\le2$
   • $x<-3$ вместе с $-4\le x\le2$ даёт $-4\le x<-3$
5. 5

   Читаем ответ как условие на расстояние. Величина $|x+1|$ — это расстояние от $x$ до $-1$, так что неравенство требует точек, удалённых больше чем на $2$, но не больше чем на $3$, — кольцо на числовой прямой. Каждая сторона даёт по промежутку длины $1$:

   $[-4,-3)\cup(1,2]$

   Обратите внимание на скобки: закрытые на внешних концах (из-за $\le3$) и открытые на внутренних (из-за строгого $>2$).

6. 6

   Проверяем перебором. Перебор $12{,}001$ точных рациональных значений $x$ на отрезке $[-6,6]$ показывает: неравенство $2<|x+1|\le3$ выполняется ровно в точках множества $[-4,-3)\cup(1,2]$ и больше нигде ✓. Проверка концов: при $x=-4$ имеем $|x+1|=3$ ✓ — входит; при $x=-3$ имеем $|x+1|=2$ ✗ — не входит.