Представьте дробь 256/625 в виде степени.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала раскладываем числитель и знаменатель на простые множители. Последовательное деление даёт

   $256=2^{8},\qquad 625=5^{4}$

   Это уже ответ в одной из форм, $\dfrac{2^{8}}{5^{4}}$, но показатели разные, поэтому свернуть дробь в одну степень пока нельзя.

2. 2

   Ищем общий показатель. Так как $8=4\cdot 2$, перегруппируем числитель в четвёртую степень:

   $2^{8}=\left(2^{2}\right)^{4}=4^{4}$

   Теперь и числитель, и знаменатель имеют один и тот же показатель $4$: $256=4^4$ и $625=5^4$.

3. 3

   Сворачиваем равные показатели в степень дроби. Правило деления степеней $\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ работает как раз тогда, когда показатели совпадают:

   $\frac{256}{625}=\frac{4^{4}}{5^{4}}=\left(\frac{4}{5}\right)^{4}$

4. 4

   Проверяем значение. $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{4}=\dfrac{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}=\dfrac{256}{625}$. ✓ Заметим также, что дробь $\dfrac{256}{625}$ уже несократима: у $2$ и $5$ нет общих делителей — именно поэтому сократить ничего не удалось.

5. 5

   Понимаем, какую форму записывать в ответ. Вид $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{4}$ — это и есть требуемая единая степень; $\dfrac{2^{8}}{5^{4}}$ — разложение на простые множители. Обе записи верны, но одной степенью одного основания является только первая.