Разложить x⁴ + 2x³y + 3x²y² + 2xy³ + y⁴ на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим последовательность коэффициентов:

   $1,\;2,\;3,\;2,\;1$

   — это палиндром, а выражение однородно четвёртой степени (степень каждого одночлена равна $4$). Для однородного палиндромного многочлена степени $4$ это явный признак, что он может быть квадратом однородного выражения второй степени.

2. 2

   Пусть квадрат имеет вид $\left(x^2+kxy+y^2\right)^2$. Раскроем скобки по формуле $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, где $a=x^2$, $b=kxy$, $c=y^2$:

   $\left(x^2+kxy+y^2\right)^2=x^4+2kx^3y+\left(k^2+2\right)x^2y^2+2kxy^3+y^4$

3. 3

   Сравним коэффициенты с исходным выражением:

   $2k=2\;\Longrightarrow\;k=1,\qquad k^2+2=1+2=3\;\checkmark$

   Обе проверки выполняются при $k=1$, поэтому разложение возможно. Если бы коэффициент при $x^2y^2$ отличался от $3$, ни одно значение $k$ не подошло бы.

4. 4

   Запишем разложение:

   $x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4=\left(x^2+xy+y^2\right)^2$

5. 5

   Проверим подстановкой и отметим неприводимость. При $x=2$, $y=1$ исходное выражение равно $16+16+12+4+1=49$, а $\left(4+2+1\right)^2=7^2=49\;\checkmark$. Внутренний множитель $x^2+xy+y^2$ не раскладывается дальше над действительными: как квадратный трёхчлен по $x$ его дискриминант $y^2-4y^2=-3y^2<0$. Значит, разложение полное.