Упростите (3⁵ · 27³ · 9⁴) / (3 · 81⁴), выразив ответ как степень 3 и как целое число.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём все множители к одному основанию. Законы работы со степенями применимы только к одинаковым основаниям, а $27$, $9$ и $81$ — это степени тройки:

   $27=3^{3},\qquad 9=3^{2},\qquad 81=3^{4}.$

2. 2

   Запишем каждый множитель через степень тройки, используя правило степени степени. Показатели перемножаются:

   $27^{3}=\left(3^{3}\right)^{3}=3^{9},\qquad 9^{4}=\left(3^{2}\right)^{4}=3^{8},\qquad 81^{4}=\left(3^{4}\right)^{4}=3^{16}.$

3. 3

   Соберём отдельно числитель и знаменатель. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

   $\text{числитель}=3^{5}\cdot 3^{9}\cdot 3^{8}=3^{5+9+8}=3^{22},$

   $\text{знаменатель}=3^{1}\cdot 3^{16}=3^{1+16}=3^{17}.$

   Одиночная $3$ — это $3^1$, забывать этот показатель часто бывает ошибкой.

4. 4

   Выполним деление, вычитая показатели степеней.

   $\frac{3^{22}}{3^{17}}=3^{22-17}=3^{5}.$

5. 5

   Посчитаем и проверим. $3^{5}=243$. Для проверки: исходные числа $3^5\cdot27^3\cdot9^4=243\cdot19683\cdot6561=31\,381\,059\,609$, а $3\cdot81^4=3\cdot43\,046\,721=129\,140\,163$; деление даёт ровно $243$.