Дробь (2−3x)/(x(x−1)) положительна. К какому множеству принадлежит x?

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем точки смены знака. Знак дроби меняется только в тех точках, где какой-либо множитель равен нулю. Числитель: $2-3x = 0$ при $x = \tfrac23$. Знаменатель: $x = 0$ и $x = 1$. Таким образом, получаем три точки в порядке $0 < \tfrac23 < 1$.

2. 2

   Учтём разницу в поведении этих точек. При $x = \tfrac23$ дробь равна нулю, а не положительна, поэтому $\tfrac23$ не входит в решение строгого неравенства. При $x = 0$ и $x = 1$ дробь не определена, поэтому эти точки также исключаются. Все концы интервалов будут открытыми.

3. 3

   Проверим знак на каждом из четырёх интервалов.

   интервал	пробное $x$	числитель	знаменатель	дробь
   $(-\infty,0)$	$-1$	$+5$	$(-1)(-2) = +2$	положительна
   $(0,\tfrac23)$	$0.5$	$+0.5$	$(0.5)(-0.5) = -0.25$	отрицательна
   $(\tfrac23,1)$	$0.8$	$-0.4$	$(0.8)(-0.2) = -0.16$	положительна
   $(1,\infty)$	$2$	$-4$	$(2)(1) = +2$	отрицательна

4. 4

   Выпишем интервалы положительности. Дробь положительна на первом и третьем интервалах:

   $x \in (-\infty,\,0) \cup \left(\tfrac23,\,1\right)$

5. 5

   Поясним, почему знаки чередуются именно так. При переходе через $x = 0$ или $x = 1$ меняется знак одного из линейных множителей в знаменателе, а при переходе через $x = \tfrac23$ — числителя. Поэтому знак дроби меняется в каждой из трёх точек, что полностью соответствует таблице.

6. 6

   Проверим результат символически. Решая неравенство $\dfrac{2-3x}{x(x-1)} > 0$, получаем $(-\infty,0) \cup \left(\tfrac23,1\right)$ — совпадает с ручным разбором по знакам. Ошибочный вариант $(-\infty,0) \cup (\tfrac23,\infty)$ неверен, так как дробь снова становится отрицательной при $x > 1$.