Решить неравенство 1 + 11/(2 в степени x минус 8) + 28/(4 в степени x минус 2 в степени (x+4) плюс 64) ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сделаем замену t = 2ˣ и перепишем все показательные выражения через t. Так как $2^x > 0$ при любом действительном $x$, положим $t = 2^x$, где $t > 0$. Тогда

   $4^x = (2^x)^2 = t^2, \qquad 2^{x+4} = 2^4 \cdot 2^x = 16t$

   Ключевое преобразование — именно $2^{x+4} = 16t$, а не $t + 16$: показатели складываются, значит, основания перемножаются.

2. 2

   Увидим во втором знаменателе полный квадрат.

   $4^x - 2^{x+4} + 64 = t^2 - 16t + 64 = (t - 8)^2$

   Теперь в оба знаменателя входит одна и та же величина $t - 8$ — именно это заставляет всю задачу «схлопнуться». Обозначим $u = t - 8$, тогда неравенство примет вид

   $1 + \frac{11}{u} + \frac{28}{u^2} \ge 0, \qquad u \ne 0$

3. 3

   Умножим всё на u² — это законно, потому что величина положительна. Так как $u \ne 0$, то $u^2 > 0$, и умножение не меняет знак неравенства:

   $u^2 + 11u + 28 \ge 0 \ \Longleftrightarrow \ (u + 4)(u + 7) \ge 0$

   Вот почему выгодно было записать знаменатели через квадрат и его основание: метод интервалов для дробей здесь уже не нужен.

4. 4

   Решим квадратное неравенство относительно u. Парабола с ветвями вверх неотрицательна вне своих корней $u = -7$ и $u = -4$:

   $u \le -7 \quad \text{или} \quad u \ge -4, \qquad u \ne 0$

5. 5

   Вернёмся назад через u = t − 8 и t = 2ˣ. Из $u \le -7$:

   $t \le 1 \ \Rightarrow \ 2^x \le 2^0 \ \Rightarrow \ x \le 0$

   Из $u \ge -4$:

   $t \ge 4 \ \Rightarrow \ 2^x \ge 2^2 \ \Rightarrow \ x \ge 2$

   Оба перехода опираются на возрастание функции $2^x$, поэтому знак неравенства сохраняется. Условие $t > 0$ выполняется автоматически и ничего нового не добавляет.

6. 6

   Исключим выколотую точку и запишем ответ. Ограничение $u \ne 0$ означает $t \ne 8$, то есть $x \ne 3$ — при этом значении оба исходных знаменателя обращаются в нуль. Итак,

   $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3) \cup (3, \infty)$

   Численные контрольные подстановки это подтверждают: при $x = -1$ левая часть равна $+0.0311$, при $x = 0$ — ровно $0$, при $x = 1$ — $-0.0556$, при $x = 2$ — ровно $0$, а при $x = 4$ — $+2.8125$.